Question

Два угла треугольника,прилежащие к одной стороне,равны 45 градусов и 60 градусов.найти отношение радиуса описанной окружности у радиусу вписаной окружности.

Answer 1

Пусть наш треугольник $ABC$ , и пусть центр равен  $I$ , обозначим точку касания вписанной окружности как М , тогда $CMI$ прямоугольный треугольник
$CM=p-AB\\ CM=r*ctg30\\ \\ p-AB=r*ctg30\\ \frac{AB}{2sin60}=R\\ p=2sin60*R\\ p-\sqrt{3}R=r*\sqrt{3}\\ p=\sqrt{3}(r+R)\\ S=\sqrt{3}(r+R)r\\ abc=Rr\sqrt{3}(r+R)\\$
И дальше как то преобразовывать ! Можно решить эту задачу , идея простая , но утомительная в плане вычислений ! 
По теореме синусов подберем стороны треугольников, пропорционально углам 
$\frac{AB}{sin60}=\frac{AC}{sin75}=\frac{BC}{sin45}$
предположим что $AB=3\ \$  , тогда  
$AC= \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\ BC=\sqrt{6}$
Тогда по формуле $r=1-\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ R=\frac{2}{sin75}\\ \frac{\frac{2}{sin75}}{1-\sqrt{2-\sqrt{3}}}=2(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1)$
И это будет всегда как бы константой , то есть постоянной