Question

Решить, в тетраэдре dabc в основании лежит правильный треугольник abc, o-точка пересечения высот этого треугольника, ad=bd=cd, dab=30. найдите косинус угла dao

Answer 1

Так как в оснований правильный треугольник, то найдем АО,точка пересечения высот - это точка пересечения медиан , биссектрис и высот! 
 
Тогда AO=AL-r , где r-радиус вписанной окружности.
$AL=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3}a}{2}\\ r=\frac{a}{2\sqrt{3}}\\ AO=\frac{\sqrt{3}a}{2}-\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$
$AD=BD=CD=b\\ a^2=2b^2-2b^2*cos150\\ a^2=2b^2 +\sqrt{3}b^2\\ b=\sqrt{\frac{a^2}{2+\sqrt{3}}}\\ H=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}b=\sqrt{\frac{2a^2}{6+3\sqrt{3}}}\\ AD=\sqrt{H^2+AO^2} = \sqrt{\frac{2a^2}{6+3\sqrt{3}}+\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{4+\sqrt{3}}{6+3\sqrt{3}}}a\\ cosDAO=\frac{AO}{AD}=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{3}}{\sqrt{\frac{4+\sqrt{3}}{6+3\sqrt{3}}}a}$