Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?

Question

Геометрия: Какие две точки называются симметричными относительно данной прямой?

only10up · Accepted Answer

Если точка равноудалена от осей координат, то ее координаты равны.

Эту точку можно рассматривать как центр окружности, которая проходит через точку с координатами (3 ; 6) и касается осей координат.
Уравнение окружности:
(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²
здесь х и у - координаты любой точки окружности,
х₀ и у₀ - координаты центра (и координаты искомой точки),
R - радиус окружности.

Так искомая точка равноудалена от осей координат и окружность касается осей, то
x₀ = y₀ = R

Подставим в уравнение окружности вместо х и у данные координаты точки (3 ; 6) и x₀ вместо у₀ и R:
(3 - x₀)² + (6 - x₀)² = x₀²
9 - 6x₀ + x₀² + 36 - 12x₀ + x₀² - x₀² = 0
x₀² - 18x₀ + 45 = 0
x₀ = 3 или x₀ = 15 по теореме Виета

Оба значения подходят (иллюстрация второго случая - на втором рисунке), значит координаты искомой точки
(3 ; 3) или (15 ; 15)

MOGZ ответил