Question

1)даны координаты трех вершин параллелограмма abcd: а(-6; -4; 0),в(6; -6; 2),с(10; 0; 4). найдите координаты точки d и угол между векторами ac и bd. 2)даны координаты вершин тетраэдра mabc: м(2; 5; 7), а(1; -3; 2),в(2; 3; 7), c(3; 6; 0). найдите расстояние от точки м до точки о пересечения медиан треугольника авс.

Answer 1

Пусть координаты точки $D(x;y)$  , так как это параллелограмм ,  то у нее противоположенные стороны равны, иными словами BC=AD .  Тогда 
$BC=\sqrt{(10-6)^2+(0+6)^2+(4-2)^2}\\ AD=\sqrt{(x+6)^2+(y+4)^2+z^2}\\ \\ x=-2\\ y=2\\ z=2\\ \\ D(-2;2;2)$
Тогда угол между векторами АС и BD, рассмотрим векторы АС и BD, они имеют координаты 
$AC(16;4;4)\\ BD(-8;8;0)$
по формуле скалярного произведения векторов получаем 
$cosa=\frac{-128+32}{\sqrt{16^2+4^2+4^2}\sqrt{8^2+8^2+0^2}}=-\frac{1}{2}\\ a=120а$
ответ к первой задачи координаты точки     D(-2;2;2)   a=120 гр 

2)
точка пересечения медиан - это среднее арифметическое всех точек , взятыъ по координатам соответственно 
$O(\frac{1+2+3}{3};\frac{-3+3+6}{3};\frac{2+7+0}{3}) = ( 2;2;3)\\ OM=\sqrt{(2-2)^2+(2-5)^2+(3-7)^2} =\sqrt{9+16} = 5$