Чтобы решить эту задачу, мы должны выполнить две задачи: сначала доказать, что четырехугольник ABCP является параллелограммом, а затем найти его центр симметрии.
Шаг 1: Доказательство параллелограмма
Чтобы доказать, что ABCP - параллелограмм, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что векторные суммы противоположных сторон должны быть равны друг другу.
A(-2,-4,1)B(-5,-6,-1)C(4,10,3)P(7,12,5)
Расчет векторов:
AB = B - A = (-5,-6,-1) - (-2,-4,1) = (-3,-2,-2)
BC = C - B = (4,10,3) - (-5,-6,-1) = (9,16,4)
CP = P - C = (7,12,5) - (4,10,3) = (3,2,2)
PA = A - P = (-2,-4,1) - (7,12,5) = (-9,-16,-4)
Теперь сравним векторные суммы по парам:
AB + CP = (-3,-2,-2) + (3,2,2) = (0,0,0)
BC + PA = (9,16,4) + (-9,-16,-4) = (0,0,0)
Таким образом, мы доказали, что AB + CP = BC + PA, что означает, что ABCP является параллелограммом.
Шаг 2: Нахождение центра симметрии
Чтобы найти центр симметрии, нам необходимо найти среднюю точку отрезка, соединяющего противоположные вершины параллелограмма.
Противоположные вершины параллелограмма:
AC - соединяет вершины A и C
BP - соединяет вершины B и P
Расчет средней точки:
AC = (A + C) / 2 = ((-2,-4,1) + (4,10,3)) / 2 = (2,6,2) / 2 = (1,3,1)
BP = (B + P) / 2 = ((-5,-6,-1) + (7,12,5)) / 2 = (2,6,4) / 2 = (1,3,2)
Таким образом, центр симметрии параллелограмма ABCP находится в точке с координатами (1,3,1) или (1,3,2).
