Question

Две стороны и биссектриса между ними треугольника соответственно равны 60; 40 и 24. Найдите площадь треугольника. А)600/3 В)800/2 с) 1003 D)300/3 Е)900/3​

Answer 1

600√3.

Объяснение:

Пусть в данном треугольнике АВС ∠А = α, АD - биссектриса, АD = 24, AB = 60, AC = 40.

1) SABD = 1/2•AB•AD•sin(α/2) = 1/2•60•24•sin(α/2) = 720•sin(α/2).

SACD = 1/2•AC•AD•sin(α/2) = 1/2•40•24•sin(α/2) = 480•sin(α/2).

тогда SABC = SABD + SACD = 1200•sin(α/2).

2) С другой стороны,

SAВC = 1/2•AC•AВ•sinα = 1/2•40•60•sinα = 1200•sinα.

3) Составим равенство:

1200•sin(α/2) = 1200•sinα

sin(α/2) = sinα

sin(α/2) = 2•sin(α/2)•cos(α/2)

α - угол треугольника, тогда sin(α/2) ≠ 0,

1 = 2•cos(α/2)

cos(α/2) = 1/2, α/2 = 60°, α = 120°.

3) SAВC  = 1200•sinα = 1200•sin120° = 1200°•sin(180° - 60°) = 1200•sin60° = 1200•√3/2 = 600√3.

Answer 2

Две стороны и биссектриса между ними треугольника соответственно равны 60; 40 и 24. Найдите площадь треугольника.

Объяснение:

Пусть ВМ- биссектриса ΔАВС, АВ=60 , ВС=40, ВМ=24, ∠АВМ=∠МВС=β

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

$S_A_B_C=S_A_B_M+S_M_B_C=\\\frac{1}{2} *AB*BC*sin(2\beta )=\frac{1}{2} *AB*BM*sin \beta +\frac{1}{2} *BM*BC*sin \beta$

$\\\ 60*40*2sin\beta *cos\beta =60*24*sin \beta +24*40*sin \beta$

60*40*2*cosβ=60*24+24*40   ⇒ cosβ=1/2 ⇒ β=60 ⇒∠ABC=120°

$S(ABC)=\frac{1}{2} *60*40* sin120= \frac{1}{2} *60*40*\frac{\sqrt{3} }{2} )=600\sqrt{3}$  (ед²).