Question

В пирамиде ABCS ребро AS перпендикулярно основанию ABС и равно 12. Треугольник ABC равносторонний со стороной 4. Найдите высоту AH, проведенную к грани SBC. В ответе укажите значение 13·AH 2.

Answer 1

$\boxed{AH = \frac{12\sqrt{13} }{13}}$

$13AH^{2} = 144$

Объяснение:

Дано: Пирамида ABCS, AS ⊥ ABC, AB = AC = BC = 4, AS = 12, AH ⊥ SBC

Найти: AH - ?

Решение: Проведем высоту в треугольнике ΔABC к стороне BC в точку F, так как по условию треугольник ΔABC - равносторонний, то по свойствам равностороннего треугольника его высота является биссектрисой и медианой, следовательно BF = CF. Треугольник ΔCAS = ΔBAS(AS ⊥ ABC по условию, поэтому треугольник ΔCAS и ΔBAS - прямоугольные) по двум катетам, так как AS - общая и AC = BC по условию, из равенства треугольников следует, что SC = SB, тогда треугольник ΔSCB - равнобедренный. Проведем отрезок SF, так как треугольник ΔSCB - равнобедренный(SC = SB, следовательно BC - основание), то по теореме медиана опущенная на высоту является биссектрисой и высотой, тогда SF ⊥ BC.

Так как по условию AH ⊥ SBC, то AH перпендикулярно любой прямой лежащей в плоскости SBC, то AH ⊥ SF (SF ∈ SBC), так как SF - гипотенуза прямоугольного треугольника ΔSAF (по условию AS ⊥ ABC) и так как SF - гипотенуза прямоугольного треугольника ΔSAF (по условию AS ⊥ ABC), то отрезок AH - высота прямоугольного треугольника ΔSAF проведенная к гипотенузе.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔCAF(AF ⊥ BC по построению). Так как треугольник ΔABC - правильный по условию, то по свойствам правильного треугольника все его углы 60°, следовательно ∠BCA = 60°. $\sin \angle ACF = \frac{AF}{AC} \Longrightarrow AF = AC * \sin \angle ACF = 4 * \sin 60^{\circ} = 4 * \frac{\sqrt{3} }{2} = 2\sqrt{3}$.

Рассмотрим треугольник ΔSAF, по теореме Пифагора: $SF = \sqrt{AF^{2} + AS^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{3} )^{2} + 12^{2}} = \sqrt{12 + 144} = \sqrt{156}$.

По формуле площади прямоугольного треугольника:$S_{\bigtriangleup ASF} = AF * AS * 0,5$, с другой стороны $S_{\bigtriangleup ASF} = AH * SF * 0,5$

AS * AF * 0,5 = AH * SF * 0,5|:0,5SF

$AH = \frac{AS * AF}{SF} = \frac{12 * 2\sqrt{3} }{\sqrt{156} } = \frac{24\sqrt{3} }{2\sqrt{39} } = \frac{12}{\sqrt{13} } = \frac{12\sqrt{13} }{13}$.

$13AH^{2} = 13*(\frac{12}{\sqrt{13} } )^{2} = \frac{13 * 144}{13} = 144$.