Точка М находится на расстоянии 12 см от каждой вершины квадрата ABCD, угол между прямой MA и плоскостью квадрата равна 60 °. Найдите расстояние от точки M к стороне квадрата.
Расстояние от точки М до середины стороны квадрата (апофема пирамиды МАВСD) ≈ 11 см
Объяснение:
Дано:
Квадрат АВСD
MA = МВ = МС = MD = 12 см
α = 60°
MАВСD - правильная четырёхугольная пирамида
Найти:
Апофему А пирамиды
Опустим перпендикуляр из точки М на основание АВСD. Он пересечёт основание в точке О. МО - высота пирамиды. ОА - проекция бокового ребра МА пирамиды на основание, поэтому заданный в условии угол α = 60° - угол между боковым ребром МА и его проекцией ОА.
В прямоугольном треугольнике МАО (∠МОА = 90°) найдём катеты ОА и МО
МО = МА · sin α = 12 · sin α = 12 · 0,5√3 = 6√3 (см)
OA = MA · cos α = 12 · cos 60° = 12 · 0.5 = 6 (см)
ОА является половиной диагонали квадрата АВСD.
Сторона квадрата а = 2АО : √2 = 12 : √2 = 6√2 (cм)
Апофему пирамиды найдём, используя теорему Пифагора
Набросок чертежа прикрепил сумма углов четырёхугольн =360° следовательно угол АBD=360-(90+90+117)=63° 2)т.к. углы между вершиной и сторонами не равны 90° следовательно основание и вершина не параллельны и будут иметь точку тересечения; думаю это не обязательно, однако, продлив линию вершины (АВ) и получив точку пересечения К мы можем посчитать угол треугольника КВD 180-90-63=27°, это ещё одно докозательство того, что есть точка пересечения(в данном случае точка К). Если будешь писать прт продление прямой, то на 2 фото чертёж(там, где есть ещё и точка К)
Построение ясно из рисунка. Поскольку плоскость проходит через точки В,С и М, значит она проходит через среднюю линию MN грани АСD, параллельную ребру ВС. Продлим прямые ВМ и СN до их пересечения в точке Р. Треугольник ВРС равнобедренный, следовательно вершина S пирамиды SBPC спроецируется на высоту PF основания ВРС, являющуюся и медианой основания, в точке Н. Расположение точки Н на прямой PF зависит от угла SQF между плоскостями ВРС и АSВ. В нашем случае этот угол тупой, поэтому точка Н лежит вне грани АSD пирамиды SABCD.
Так как пирамида правильная, в основании - квадрат. Диагональ квадрата равна в нашем случае 6√2. Ее половина ОС=3√2. Высота пирамиды по Пифагору SO=√(SC²-OC²)=√(144-18)=3√14. Необходимо найти перпендикуляр SH к плоскости BCMN. Вариант решения - через подобие прямоугольных треугольников SHE и FOE по равным острым углам при вершине Е. Углы SHE и EOF - прямые. Из этого подобия имеем соотношение: SH/FO=SE/EF и SH=FO*SE/EF. Высота пирамиды SO=3√14 (по Пифагору из треугольника SOC). Тогда QG=0,5*SO (так как MN - средняя линия треугольника ASD, и значит QG - средняя линия треугольника KSO). Из подобия треугольников QGF и EOF имеем ЕО=FO*QG/FG. FO=3, QG=1,5√14, FG=4,5. Тогда ЕО=3*1,5√14/4,5=√14 и, следовательно, SE=SO-EO=2√14. EF находим из треугольника EOF по Пифагору: EF=√(OF²+OE²)=√(9+14)=√23. Тогда SH=3*2√14/√23. ответ: SH=6√14/√23.
Расстояние от точки М до середины стороны квадрата (апофема пирамиды МАВСD) ≈ 11 см
Объяснение:
Дано:
Квадрат АВСD
MA = МВ = МС = MD = 12 см
α = 60°
MАВСD - правильная четырёхугольная пирамида
Найти:
Апофему А пирамиды
Опустим перпендикуляр из точки М на основание АВСD. Он пересечёт основание в точке О. МО - высота пирамиды. ОА - проекция бокового ребра МА пирамиды на основание, поэтому заданный в условии угол α = 60° - угол между боковым ребром МА и его проекцией ОА.
В прямоугольном треугольнике МАО (∠МОА = 90°) найдём катеты ОА и МО
МО = МА · sin α = 12 · sin α = 12 · 0,5√3 = 6√3 (см)
OA = MA · cos α = 12 · cos 60° = 12 · 0.5 = 6 (см)
ОА является половиной диагонали квадрата АВСD.
Сторона квадрата а = 2АО : √2 = 12 : √2 = 6√2 (cм)
Апофему пирамиды найдём, используя теорему Пифагора
А² = МО² + (0,5а)² = (6√3)² + (0,5 · 6√2)² = 108 + 18 = 126 (cм²)
А ≈ 11,22 см