Показанные координаты точек во все шести заданиях неизменны.
Будем только находить координаты точек M и N. Во всех заданиях данные точки(если они присутствуют) являются серединами рёбер. Будем использовать для нахождения их координат известную формулу середины отрезка:
Нужно делить на СООТВЕТСТВУЮЩУЮ сторону треугольника. Если дано, что треугольники АВС и ОРТ, подобны, то вначале надо определить какие стороны являются соответствующими (и то же самое с углами: соответствующие углы у подобных треугольников равны). Как правило в учебниках, при записи подобных треугольников соответствие определяется по положению буквы в записи треугольника. Хотя, в новых учебниках это явно не сказано. Например, если сказано, что треугольники АВС и ОРТ подобны, то подразумевается, что угол А равен углу О, угол В равен Р, и С равен Т. И тогда стороне АВ соответствует сторона ОР, стороне ВС соответствует РТ и стороне АС соответствует OТ. Т.е. при такой записи, будет AB/OP=BC/PT=AC/OT. И в вашей задаче, если AB=8, то чтобы определить коэффициент подобия, надо знать длину именно ОР. И если сказано, что она 4, то да, треугольник ABC подобен треугольнику ОРТ с коэффициентом подобия 2.
Параллельные прямые, которые исходят из точек С, Р и К перпендикулярны к прямой С1К1. Проведем CN, NP1,C1M, ML так, что CMPN и MLK1C1 - прямоугольники. Из условия СС1 = 3 см, РР1 = 5 см. Поскольку СС1Р1N - прямоугольник (три угла равны 90 градусов), то CC1 = NP1 = 3 см. Аналогично из прямоугольника MPP1C1: MC1 = PP1 = 5 см, из прямоугольника MLK1C1: МС1 = LK1 = 5 см. CM = NP = NP1 + P1P, CM = 3 + 5 = 8 см. Рассмотрим треугольники CMP и KLP: СР = РК по условию, <MPC = <KPL как вертикальные, <CMP = <KLP = 90 градусов. Следовательно, треугольника CMP и KLP равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Исходя из равенства треугольников, CM = KL = 5 см. KK1 = KL + LK1. Имеем: KK1 = 8 + 5 = 13 см. ответ: 13 см.
Объяснение:
По корректировке автора в коментах ABCDA₁B₁C₁D₁-куб.
Введу обозначение. (AB)-вектор AB.
Расположим данные кубы в системе координат, единичный отрезок равен ребру куба.
Точка B-начало координат, A∈Ox, C∈Oy, B₁∈Oz
Будем находить углы используя формулу для угла между векторами.
Учитывая, что при α>90° переходим к углу 180°-α
A(1; 0; 0), B(0; 0; 0); C(0; 1; 0); D(1; 1; 0), A₁(1; 0; 1), B₁(0; 0; 1); C₁(0; 1; 1); D₁(1; 1; 1)
Показанные координаты точек во все шести заданиях неизменны.
Будем только находить координаты точек M и N. Во всех заданиях данные точки(если они присутствуют) являются серединами рёбер. Будем использовать для нахождения их координат известную формулу середины отрезка:
M∈AB, AM=BM, A(a;b;c), B(d;e;f), M(x;y;z)⇒x=(a+d)/2; y=(b+e)/2; z=(c+f)/2
1) M∈AD, AM=DM, A(1; 0; 0), D(1; 1; 0)⇒M(1; 0,5; 0)
N∈B₁C₁, B₁N=C₁N, B₁(0; 0; 1); C₁(0; 1; 1)⇒N(0; 0,5; 1)
(BA₁)={1;0;1}; (MN)={-1; 0; 1}
(BA₁)·(MN)=1·(-1)+0·0+1·1=0⇒(BA₁)⊥(MN)⇒BA₁^MN=(BA₁)^(MN)=90°
Можно было решить другим . Достроим AB₁.
BA₁⊥AB₁⇒BA₁^AB₁=90°
B₁N=0,5B₁C₁=0,5AD=AM; B₁N║AM⇒AB₁NM-параллелограмм ⇒MN║AB₁⇒MN^BA₁=BA₁^AB₁=90°
Но будем придерживаться 1-го .
2) M∈A₁B₁, A₁M=B₁M, A₁(1; 0; 1), B₁(0; 0; 1)⇒M(0,5; 0; 1)
N∈AD, AN=DN, A(1; 0; 0), D(1; 1; 0)⇒N(1; 0,5; 0)
(CD₁)={1;0;1}; (NM)={-0,5; -0,5; 1}
|CD₁|=√(1²+0²+1²)=√2; |NM|=√((-0,5)²+(-0,5)²+1²)=√1,5
(CD₁)·(NM)=1·(-0,5)+0·(-0,5)+1·1=0,5
cos((CD₁)^(NM))=(CD₁)·(NM)/(|CD₁|·|NM|)=0,5/(√2√1,5)=√3/6
⇒CD₁^NM=(CD₁)^(NM)=arccos(√3/6)
Дальше всё так же