ПУсть плоскость проведенная через середины ребер AB, BC, BB1 пересекает эти ребра в точках N, M, K соответственно.
Δ BMN - равнобедренный, прямоугольный ==> угол M=углу N = 45 градусов
Δ ACD - равнобедренный, прямоугольный ==> угол A=углу C = 45 градусов
==>
MN || AC(т.к соответственные углы равны, при пересечении данных прямых прямой ВС)
Δ BКN - равнобедренный, прямоугольный ==> угол К=углу N = 45 градусов
Δ ABB1 - равнобедренный, прямоугольный ==> угол A=углу B1 = 45 градусов
==>
AB1 || KN(т.к соответственные углы равны, при пересечении данных прямых прямой ВB1)
==>
плоскость ACB1 || KMN
Δ ACB1 - равносторонний(AB1=B1C=AC)
рассмотрим Δ ACD - равнобедренный, прямоугольный, ==>
по т-ме Пифагора AC^2 = AD^2+CD^2 = 2*AD^2 AC= AD* корень из 2 = 2корня из 2
Pacb1 = 3*AC = 6корней из 2
Исходя из того, что по условию задачи любая апофема создаёт с высотой угол 45 градусов, то пирамида является правильной. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды - S = 1/2 Pa, где P - периметр основания, a - апофема боковой грани. Апофема образует с высотой пирамиды и отрезком, проведенным из точки пересечения высоты и основания на сторону основания прямоугольный треугольник. Это следует из определения высоты пирамиды - она образует с плоскостью основания прямой угол.
Данный треугольник является равнобедренным, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, один из углов прямой, тогда 180 - 90 - 45 = 45. Поскольку оба угла равны - треугольник равнобедренный.
Таким образом, длина стороны основания равна удвоенной высоте пирамиды (треугольник равнобедренный, поэтому второй катет равен высоте пирамиды, а он же равен половине стороны, поскольку пирамида является правильной).
Исходя из того, что оба катета треугольника, образованного высотой пирамиды и отрезком, проведенным к боковой грани равны, то по теореме Пифагора апофема пирамиды равна
a = sqrt( 42 + 42 ) = sqrt( 32 ) = 4 sqrt( 2 ) , четыре корня из двух
Периметр равен 4 * 2 * 4 = 32 см, таким образом
S = 1/2 Pa = 1 / 2 * 32 * 4 sqrt( 2 ) = 64 sqrt( 2 ) , 64 корня из двух
ответ: 64 корня из двух