Задача 4 К окружности с центром в точке О проведены из точки В касательные АВ и ВС (А и С - точки касания), Окружность пересекает отрезок ОВ в точке Т. ∠АВТ=30°. Доказать, что Т - точка пересечения биссектрис ∆ АВС. ---------------------------------------------------- Нарисуем окружность и касательные ВА и ВС. Соединим А и С с центром окружности и с точкой В. АВ=ВС как отрезки касательных из одной точки, АО=ОС - радиусы, ОВ - общая сторона. ∠ОВС=∠АВО=30°. Точка Т лежит на ВО ВО - гипотенуза треугольника, в котором катет, противолежащий углу 30°, равен R. ОТ - радиус => ВТ=ОТ. Проведем АК и СР через точку Т до пересечения с АВ и АС. Треугольники АОТ и ТОС образованы радиусами, они равнобедренные и равносторонние, так как центральные углы в них являются и углами прямоугольных треугольников, в которых один из острых углов ( при В) равен 30°. Следовательно, центральные углы АОТ и ТОС равны 60°. АС диагональ ромба и является биссектрисой углов ромба АОСТ.=> ∠ ТАС=∠ТСА=30° и отсюда СР и АК - биссектрисы углов А и С. Но и ВМ биссектриса треугольника АВС. Точка Т является точкой пересечения биссектрис треугольника АВС. ================================================================== Задача 5 Вершины А, В, С и Д куба АВСДА₁В₁С₁D₁ лежат на окружности. Точкa О - середина ребра АD. Хорда окружности проходит через точку О и параллельна отрезку АС . Вычислить длину этой хорды, если площадь поверхности куба равна 384 см² --------------------------------------- Обозначим концы хорды К и Р Проведем в окружности диаметр ВD, который является хордой и диагональю вписанного квадрата. Хорда КР делит диаметр на две части ВМ и МD. Так как КР содержит среднюю линию треугольника АDС, высота треугольника=радиус ЕD разделен в точке М пополам. MD=1/4 диаметра окружности, ВМ=3/4 диаметра Произведения отрезков каждой хорды, получившихся при пересечении этих хорд, равны. Диагонали квадрата при пересечении делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Хорда параллельна диаметру. Диаметр делит хорду, к которой он перпендикулярен, пополам. Пусть КМ=МР=х Тогда х²=1/4 D×3/4 D=(3/16)D х=0,25√3 D КР=2х=0,5√3 D Длина диаметра окружности равна диагонали грани куба. Ребро куба найдем из площади его поверхности. Граней у куба 6, площадь каждой а²=384:6=64см² Ребро куба равно а= √64=8см Диагональ грани равна 8√2см (d=a√2 ) Длина хорды КР=(0,5√3)×8√2= 4√6 см
Сумма трех углов треугольника равна 180 градусам. Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида) . Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°.
Так как треугольник АВС - равнобедренный, его высота ВН является и медианой, и биссектрисой. ВН по т.Пифагора равна 12. АН=НС=9 СЕ - медиана. Точка М по свойству медиан делит ВН в отношении 2:1, т.е. на отрезки ВМ=8, МН=4 СТ - биссектриса. Т - точка пересечения биссектрис углов В и С. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон. В треугольнике ВСН отношение отрезков ВТ:ТН=ВС:СН ВТ:ТН=15:9=5:3 3 ВТ=5 ТН ТН=0,6 ВТ ВН=ВТ+ТН ВН=1,6 ВТ 1,6 ВТ=12 ВТ=12:1,6=7,5 МТ=ВМ-ВТ=8-7,5=0,5 ---------------- Центр О описанной окружности лежит на пересечении срединных перпендикуляров. ВН - срединный перпендикуляр, и центр О лежит на ВН. Радиус описанной окружности найдем по формуле R=abc:4S R=15*15*18: 4*12*18/2 R= 4050: 432=9,375 R=BO Расстояние от О до АС равно ВН-BO ОН=12-9,375=2,625
К окружности с центром в точке О проведены из точки В касательные АВ и ВС (А и С - точки касания), Окружность пересекает отрезок ОВ в точке Т. ∠АВТ=30°. Доказать, что Т - точка пересечения биссектрис ∆ АВС.
----------------------------------------------------
Нарисуем окружность и касательные ВА и ВС.
Соединим А и С с центром окружности и с точкой В.
АВ=ВС как отрезки касательных из одной точки,
АО=ОС - радиусы,
ОВ - общая сторона.
∠ОВС=∠АВО=30°.
Точка Т лежит на ВО
ВО - гипотенуза треугольника, в котором
катет, противолежащий углу 30°, равен R.
ОТ - радиус => ВТ=ОТ.
Проведем АК и СР через точку Т до пересечения с АВ и АС.
Треугольники АОТ и ТОС образованы радиусами, они равнобедренные и равносторонние, так как центральные углы в них являются и углами прямоугольных треугольников, в которых один из острых углов ( при В) равен 30°.
Следовательно, центральные углы АОТ и ТОС равны 60°.
АС диагональ ромба и является биссектрисой углов ромба АОСТ.=>
∠ ТАС=∠ТСА=30° и отсюда СР и АК - биссектрисы углов А и С.
Но и ВМ биссектриса треугольника АВС.
Точка Т является точкой пересечения биссектрис треугольника АВС.
==================================================================
Задача 5
Вершины А, В, С и Д куба АВСДА₁В₁С₁D₁ лежат на окружности. Точкa О - середина ребра АD. Хорда окружности проходит через точку О и параллельна отрезку АС . Вычислить длину этой хорды, если площадь поверхности куба равна 384 см²
---------------------------------------
Обозначим концы хорды К и Р
Проведем в окружности диаметр ВD, который является хордой и диагональю вписанного квадрата.
Хорда КР делит диаметр на две части ВМ и МD.
Так как КР содержит среднюю линию треугольника АDС,
высота треугольника=радиус ЕD разделен в точке М пополам.
MD=1/4 диаметра окружности,
ВМ=3/4 диаметра
Произведения отрезков каждой хорды, получившихся при пересечении этих хорд, равны.
Диагонали квадрата при пересечении делятся пополам и перпендикулярны друг другу.
Хорда параллельна диаметру.
Диаметр делит хорду, к которой он перпендикулярен, пополам.
Пусть КМ=МР=х
Тогда х²=1/4 D×3/4 D=(3/16)D
х=0,25√3 D
КР=2х=0,5√3 D
Длина диаметра окружности равна диагонали грани куба.
Ребро куба найдем из площади его поверхности.
Граней у куба 6, площадь каждой а²=384:6=64см²
Ребро куба равно а= √64=8см
Диагональ грани равна 8√2см (d=a√2 )
Длина хорды КР=(0,5√3)×8√2= 4√6 см