1) Для осушення прямокутної ділянки землі викопали за її периметром канаву. Яка довжина канави, якщо довжина однієї сторони ділянки дорівнює 1250 м, а довжина другої — на 500 м менша, ніж довжина першої?
ДАНО: АВСD – ромб ; точка О – точка пересечения диагоналей AC и BD ; CF = FD ; CE = EB.
ДОКАЗАТЬ: ЕF = BO , EF перпендикулярен АС. ________________________
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
1) Рассмотрим ∆ BCD: CF = FD , CE = EB → поэтому EF - средняя линия. По свойству средней линии: Средняя линия параллельна третьей стороне, то есть BD и равна её половине → EF || BD и EF = 1/2 × BD
По свойству ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам → ВD перпендикулярен АС ; ВО = ОD = 1/2 × BD ; AO = OC = 1/2 × AC
Значит, EF = 1/2 × BD = 1/2 × 2 × BO = BO
2) Как было сказано вышe: EF || BD, но AC перпендикулярен BD. Если одна из двух параллельных прямых a или b перпендикулярна третьей прямой c, то и другая прямая a или b перпендикулярна этой же прямой c.
Из этого следует, что EF перпендикулярен AC, что и требовалось доказать.
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны (докажите сами). То есть ромб является параллелограммом.
<AOE = <ACB (как соответственные углы при ||-ных прямых OE и BC и их секущей AC).
Тогда треугольники ACB и AOE подобны по двум углам (<A=<A, <AOE=<ACB),
тогда их стороны пропорциональны, то есть:
AC/AO = BC/EO = AB/AE. (*)
Треугольники AOB и COD равны (докажите сами), тогда
AO = CO, тогда
AC/AO = (AO+CO)/AO = 2AO/AO = 2.
Тогда из (*):
2 = BC/EO, отсюда EO = (1/2)*BC,
Но у ромба все стороны равны, то есть BC = DC, поэтому
EO = (1/2)*BC = (1/2)*DC.
Ч. т. д.