Дана трапеция АВСD, вокруг которой описана окружность.
Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).
Из этого следует, что трапеция равнобедренная.
АВ=СD=15 см
Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований.
Известно только одно основание - оно равно диаметру окружности
АD=2 r=25 cм
Так как центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции,
диаметр окружности, ее боковая сторона и диагональ образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной диаметру.
Высоту трапеции h = ВD найдем по формуле высоты прямоугольного треугольника, проведенного из прямого угла к гипотенузе:
h = 2s/a , где а - гипотенуза.
Площадь треугольника пока не известна.
Для ее нахождения нужно найти длину второго катета -диагонали трапеции ВD.
ВD=√(АD²-АВ²)=√(25²-15²)=√400=20 см
2s ABD=АВ·ВD=15·20=300 cм²
h =300:25= 12 см
Отрезок от А до основания Н высоты ВН трапеции равен в равнобедренной трапеции полуразности оснований.
АН найдем из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора.
Полуразность оснований 9 см
Разность оснований 18 см
Меньшее основание
ВС= 25 -18=7 см
S трапеции = 12·(25+7):2 =192 см²
Sкв = 4R^2
2) Разобьем шестиугольник на 6 треугольников отрезками, выходящими из центра к вершинам шестиугольника. Все эти треугольники правильные и равны между собой, т.к. угол при вершине 60 градусов и они равнобедренные, а высотой треугольника является радиус вписанной окружности, т. е. R. Сторону треугольников обозначим через X. Рассмотрим один из треугольников.
Высота является в нем и медианой. Тогда, рассмотрев треугольник, образованный отрезком, проведенным из центра, половиной основания и высотой, имеем по теореме Пифагора
R^2 +(X/2)^2 = X^2, откуда
X^2= 4R^2/3, X =2R/корень из 3
Площадь треугольника
Sтр=X*R/2= 2R*R/2*корень из 3 =R^2/корень из 3
Площадь шестиугольника
Sш =6Sтр= 6R^2/корень из 3 = 2* корень из 3* R^2
Отношение площадей
Sкв/Sш = 4R2/2* корень из 3* R^2 = 2/корень из 3