Красный, синий и большой треугольники подобны - одинаковый острый угол, и прямой x/z = 9/16 z/y = 9/16 y = 16z/9 x = 9z/16 Теорема Пифагора для красного треугольника x² + z² = 9² (9z/16)² + z² = 9² 81/256*z² + z² = 81 (81 + 256)/256*z² = 81 337z² = 81*256 z² = 81*256/337 z = 9*16/√337 = 144/√337 см x = 9z/16 = 81/√337 см y = 16z/9 = 256/√337 см Малый катет большого треугольника x + z = (144 + 81)/√337 = 225/√337 см Большой катет большого треугольника y + z = (256 + 144)/√337 = 400/√337 см Площадь S = 1/2*225/√337*400/√337 = 45000/337 см²
№2) Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О , которая является серединой каждого из них. а) Докажите, что ΔАОС = ΔBOD. б) Найдите ∠ОАС ,если ∠ОDB = 20°,∠АОС = 115°.
а) АО = ОС по условию, ВO = OD по условию, ∠АОС = ∠BOD как вертикальные, ⇒ ΔАОС = ΔBOD по двум сторонам и углу между ними.
б) ∠ОСА = ∠ODB = 20°, так как в равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. В ΔАОС: ∠ОАС = 180° - (∠АОС + ∠ОСА) = 180° - (115° + 20°) = 180° - 135° = 45°
№3) В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.
Формулировка "одна из сторон треугольника равна 16 см" предполагает, что будут рассмотрены два случая: а) Пусть 16 см - основание равнобедренного треугольника. Тогда боковая сторона равна (64 - 16)/2 = 24 см б) Боковая сторона 16 см не может быть равна, так как тогда основание равно 64 - 2 · 16 = 32 см, а любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других.
№1) В треугольнике АВС высота ВD делит ∠В на два угла,причем ∠АВD = 40°, ∠СВD = 10°. а) Докажите, что ΔАВС - равнобедренный, и укажите его основание. б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О. Найдите ∠ВОС.
а) ∠АВС = ∠ABD + ∠CBD = 40° + 10° = 50° В ΔBDA ∠BAD = 180° - 90° - 40° = 50°. Так как ∠АВС = ∠ВАС, треугольник равнобедренный с основанием ВА. б) ΔBCD: ∠BCD = 90° - ∠DBC = 90° - 10° = 80°. В равнобедренном ΔАВС высота СН является так же и биссектрисой, значит ∠ВСО = ∠BCD/2 = 80°/2 = 40°. ΔВСО: ∠ВОС = 180° - ∠ВСО - ∠СВО = 180° - 40° - 10° = 130°
№2 Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого их них. а) Докажите равенство треугольников АСВ и ВDА. б) Найдите ∠АСВ,если ∠СВD = 68°.
а) АО = ОВ по условию, BO = OD по условию, ∠АОС = ∠BOD как вертикальные, ⇒ ΔАОС = ΔBOD по двум сторонам и углу между ними, ⇒ АС = BD.
АО = ОВ по условию, BO = OD по условию, ∠АОD = ∠BOC как вертикальные, ⇒ ΔАОD = ΔBOС по двум сторонам и углу между ними, ⇒ AD = ВС.
АС = BD, AD = ВС, АВ - общая сторона для треугольников АСВ и BDA, ⇒ ΔАСВ = ΔBDA по трем сторонам.
б) Из равенства треугольников ΔАОС = ΔBOD равны углы, обозначенные цифрами 1 и цифрами 3. Из равенства треугольников ΔАОD = ΔBOС равны углы, обозначенные цифрами 2 и цифрами 4. ∠CBD = 68°, тогда в ΔCBD ∠3 + ∠4 = 180° - 68° = 112°. ∠АСВ = ∠3 + ∠4 = 112°
№3 Две стороны треугольника равны 0,9 см и 4,9 см. Найдите длину третьей стороны, если она выражается целым числом сантиметров.
Обозначим третью сторону а. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон: 0 < a < 5,8 0,9 < a + 4,9 4,9 < a + 0,9, ⇒ a > 4 Значит, 4 < a < 5,8. На этот промежуток попадает только одно целое число: 5. а = 5.
x/z = 9/16
z/y = 9/16
y = 16z/9
x = 9z/16
Теорема Пифагора для красного треугольника
x² + z² = 9²
(9z/16)² + z² = 9²
81/256*z² + z² = 81
(81 + 256)/256*z² = 81
337z² = 81*256
z² = 81*256/337
z = 9*16/√337 = 144/√337 см
x = 9z/16 = 81/√337 см
y = 16z/9 = 256/√337 см
Малый катет большого треугольника
x + z = (144 + 81)/√337 = 225/√337 см
Большой катет большого треугольника
y + z = (256 + 144)/√337 = 400/√337 см
Площадь
S = 1/2*225/√337*400/√337 = 45000/337 см²