Question

на сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки K и E так,что BK=KC,CE:ED=2:3. Выразите векторы AK,AE,KE через векторы вектор a = вектор AB , вектор B= вектор AD

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства параллелограмма и сделать ряд преобразований векторов. Давайте посмотрим на это пошагово:

1. В параллелограмме ABCD, противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD.

2. Из условия задачи известно, что BK = KC. Это означает, что точка K делит сторону BC пополам. Мы можем записать это как:

BK = BC - CK, так как BC = BK + CK.

Также мы можем записать BC и CK через известные векторы:

BC = BA + AC, и соответственно CK = CA + AK.

Следовательно, BK = (BA + AC) - (CA + AK) = BA - CA - AK.

3. Мы также знаем, что CE:ED = 2:3. Это означает, что точка E делит сторону CD на отрезки CE и ED так, что отношение их длин равно 2:3. Вектор ED можно записать как:

ED = CD - CE = AD - AC - AE.

Теперь мы можем выразить вектор AE через известные векторы:

AE = AD - AC - ED.

4. Из предыдущего шага мы знаем, что AE = AD - AC - ED. Подставляя значения векторов:

AE = B - BC - (AD - AC - AE) = B - BC - AD + AC + AE.

Мы можем переместить AE влево:

AE + AE = B - BC - BC - AD + AC.

Объединяя одинаковые термины, получим:

2AE = B - 2BC - AD + AC.

Делим оба выражения на 2:

AE = (B - 2BC - AD + AC) / 2.

5. Теперь мы можем выразить вектор AK через известные векторы:

Из предыдущего шага мы знаем, что BK = BA - CA - AK.

Мы также знаем, что BC = BA + AC.

Исключим AK из этих двух уравнений:

BK - (BA - CA - AK) = BA + AC.

Отменяя соответствующие термины, получим:

BK - BA + CA = BA + AC.

Перепишем это уравнение, чтобы выразить AK:

AK = BK - BA + CA - BA - AC.

Объединяя одинаковые термины, получим:

AK = BK - 2BA + CA - AC.

Заменяя значения векторов, получим:

AK = (BA - CA) - 2BA + CA - AC.

6. Наконец, мы можем выразить вектор KE через известные векторы:

Из предыдущего шага мы знаем, что AE = (B - 2BC - AD + AC) / 2.

Также мы знаем, что KE = AE - AK.

Подставляем значения:

KE = (B - 2BC - AD + AC) / 2 - ((BA - CA) - 2BA + CA - AC).

Упрощаем это выражение:

KE = (B - 2BC - AD + AC) / 2 - (BA - CA) + 2BA - CA + AC.

Объединяя одинаковые термины, получим:

KE = (B - 2BC - BA + CA + 2BA - CA + AC) / 2.

Упрощая, получим:

KE = (B - 2BC + 2BA + AC) / 2.

Таким образом, мы выразили векторы AK, AE и KE через известные векторы a = AB и b = AD:

AK = (BA - CA) - 2BA + CA - AC,
AE = (B - 2BC - AD + AC) / 2,
KE = (B - 2BC + 2BA + AC) / 2.