В правильной четырѐхугольной призме ABCDA1B1C1D1 основание
ABCD — квадрат. Точка M — центр боковой грани BCC1B1.
а) Докажите, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в отношении 2 : 1,
считая от точки A.
Первым шагом для решения задачи будет проведение необходимых построений. На рисунке ниже представлена правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1, где ABCD - квадрат, а M - центр боковой грани BCC1B1.
```
B1_________________ D1
/ /
/ A1 /
/________________/
A C D
B C1
```
Для начала рассмотрим плоскость A1D1M. Поскольку М - центр боковой грани BCC1B1, это означает, что отрезок MB1 равен отрезку MC. А также по определению центра боковой грани, отрезок MB1 параллелен стороне AB и равен половине ее длины. То есть MB1 = AB/2.
Теперь рассмотрим плоскость ACD1. Поскольку ABCD - квадрат, то отрезок AC1 является его диагональю. В прямоугольном треугольнике AMC1 мы можем применить теорему Пифагора:
AC1^2 = AM^2 + MC1^2
AC1^2 = (AB/2)^2 + MC^2
AC1^2 = AB^2/4 + MC^2
Также, поскольку ABCD - квадрат, стороны AB и AC равны. Поэтому можно заменить AB в полученном уравнении на AC:
AC1^2 = AC^2/4 + MC^2
Теперь рассмотрим плоскость A1D1M. Эта плоскость пересекает диагональ AC1. Чтобы доказать, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в отношении 2 : 1, нужно доказать, что отношение длины отрезка AM к длине отрезка MC1 равно 2 : 1.
Рассмотрим треугольник AMM1. По построению эта фигура является равнобедренным треугольником, поскольку отрезок AM равен отрезку MM1 (это следует из того, что M - центр боковой грани BCC1B1). Значит, у нас есть два равных угла между сторонами MM1 и AM, и следовательно, угол AMB1 = AM1B.
Теперь рассмотрим треугольник ACD1. Углы между сторонами AC1 и AB равны 90 градусам, а углы между сторонами AB и BC равны 45 градусам (поскольку ABCD - квадрат). Таким образом, угол BAC1 = BAC = 45 градусов.
Так как у нас есть два равных угла и один равный угол, то по признаку равенства треугольников (по двум углам и общей стороне) можно сделать вывод, что треугольник AMB1 подобен треугольнику ACD1.
Из подобия треугольников можно сделать следующее утверждение: отношение стороны AM к стороне AC1 равно отношению стороны MB1 к стороне MC1:
AM/AC1 = MB1/MC1
Подставим известные значения для AM и MB1:
AB/2/AC1 = AB/2/MC1
Сократим AB/2:
1/AC1 = 1/MC1
Теперь возведем обе части равенства в квадрат:
(1/AC1)^2 = (1/MC1)^2
Меняем стороны местами:
(AC1)^2 = (MC1)^2
А это именно уравнение для плоскости A1D1M, которое мы получили ранее:
AC1^2 = AC^2/4 + MC^2
Таким образом, мы доказали, что плоскость A1D1M делит диагональ AC1 в отношении 2 : 1, считая от точки A.
Надеюсь, данное объяснение помогло. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.
