1) Дано: ABCD - трапеция,∠А=90°, ∠С-∠В=48°. Найти: ∠D, ∠С, ∠В Решение: 1.Рассмотрим трапецию АВСD. ВА∫∫CD(по опр. трапеции) ⇒ сумма односторонних углов равна 180°(по св-ву парал. прям. и сек.). Пусть секущей будет DA, тогда ∠А+∠D=180° ⇒ ∠D=180°-90°=90°. Возьмем СВ как секущую, тогда ∠С+∠В=180°(по св-ву). 2. Получим систему: ∠С+∠В=180° ∠С-∠В=48° Такое возможно, только если один из углов равен 114, а второй 66. (Найти можно методом подбора). Тогда ∠С=114°(т.к.он тупой), а ∠В=66°(т.к.он острый). ответ: 90°, 114°, 66° 2) Дано: ABCD - прямоугл., ∠АВО=36° Найти: ∠АОD Решение:1.Рассмотрим BD и АС. Они пересекаются в точке О, при этом делятся пополам(по св-ву параллелогр.). Также диагонали равны(по св-ву прямоуг.)⇒ВO=ОА. 2.Рассмотрим ΔВОА: ВО=ОА ⇒ ΔВОА - равнобедр.(по опр.) ⇒ ∠ОВА=∠ВАО=36°(по св-ву равноб. Δ). По теореме о сумме углов треугольника найдем ∠ВОА: 180-36-36=108°. 3. ∠ВОА смежен с ∠АОD. То есть их сумма равна 180(по св-ву) ⇒ ∠AOD=180-108=72° ответ: 72°
Свойство параллельного переноса: при таком переносе прямая имеет свойство переходить в такую же параллельную прямую. Задача сводится к построению параллельных прямых и имеет несколько вариантов. Вот два из них: Дана прямая Зх-4у-5=0 или у=(Зх-5)/4. Строим эту прямую по двум точкам: при Х=0 => у=-5/4=1и1/4. при у=0 => х=5/3=1и2/3. Вектор нормали к этой прямой п(3;-4). Этот вектор - общий для всех прямых, параллельных данной. 1. Общее уравнение прямой, проходящей через точку О(0;0) и имеющей вектор нормали n(3;4): 3(х-0)+(-4)(у-0)=0 или Зх-4у=0 или у=(3/4)х. Строим эту прямую по двум точкам: приХ=0 => у=0. при х=2 => х=3/2 =1и 1/2. 2. Общее уравнение прямой, проходящей через точку К(3;-2) и имеющей вектор нормали n(3;4): 3(х-3)+(-4)(у-(-2))=0 или Зх-4у-17=0 или у=(3х-17)/4 или y=(3/4)*x-9/4. Строим эту прямую по двум точкам: при Х=0 => у=-17/4=-4и1/4. при y=0 => х=17/3 или 5и1/3. Второй вариант: Дана прямая Зх-4у-5=0 или у=(Зх-5)/4 или y=(3/4)*x-5/4. Строим эту прямую по двум точкам: при Х=0 => у=-5/4=1и1/4. при у=0 => х=5/3=1и2/3. Мы знаем, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны, тогда 3/4 - угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам требуется составить. 1). По условию эта прямая проходит через точку О(0;0), следовательно, ее уравнение: (y-0)=(3/4)*(x-0) или y=(3/4)*x. 2). Прямая проходит через точку К(3;-2), следовательно, ее уравнение: (y-(-2))=(3/4)*(x-3) или y=(3/4)*x-9/4. Мы видим, что уравнения искомых прямых одинаковы. остается построить эти прямые.
Найти: ∠D, ∠С, ∠В
Решение: 1.Рассмотрим трапецию АВСD. ВА∫∫CD(по опр. трапеции) ⇒ сумма односторонних углов равна 180°(по св-ву парал. прям. и сек.). Пусть секущей будет DA, тогда ∠А+∠D=180° ⇒ ∠D=180°-90°=90°. Возьмем СВ как секущую, тогда ∠С+∠В=180°(по св-ву).
2. Получим систему:
∠С+∠В=180°
∠С-∠В=48°
Такое возможно, только если один из углов равен 114, а второй 66. (Найти можно методом подбора). Тогда ∠С=114°(т.к.он тупой), а ∠В=66°(т.к.он острый).
ответ: 90°, 114°, 66°
2) Дано: ABCD - прямоугл., ∠АВО=36°
Найти: ∠АОD
Решение:1.Рассмотрим BD и АС. Они пересекаются в точке О, при этом делятся пополам(по св-ву параллелогр.). Также диагонали равны(по св-ву прямоуг.)⇒ВO=ОА.
2.Рассмотрим ΔВОА: ВО=ОА ⇒ ΔВОА - равнобедр.(по опр.) ⇒ ∠ОВА=∠ВАО=36°(по св-ву равноб. Δ). По теореме о сумме углов треугольника найдем ∠ВОА: 180-36-36=108°.
3. ∠ВОА смежен с ∠АОD. То есть их сумма равна 180(по св-ву) ⇒ ∠AOD=180-108=72°
ответ: 72°