Прямые O1B II O2C.
Это можно показать кучей сопособов, например тем, что дуги АВ малой окружности и АС большой соответствуют углу между общей касательной в точке А и секущей ВС, а углы CO2A и AO1B - центральные углы этих дуг, то есть они равны, откуда O1B II O2C.
Можно просто рассмотреть два равнобедренных треугольника ABO1 и ACO2, у которых углы при основании равны, и равны, по условию, 45/2 градусов, между прочим.
Поэтому нужно найти расстояние от О2 до прямой BO1, при том, что угол наклона О2О1 к ВО1 - это внешний угол при вершине равнобедренного треугольника AO1B, равный 45 градусам.
То есть высота треугольника BO1A равна H = (2 + 10)*√2/2 = 6√2, а площадь
S = H*BO1/2 = (6√2)*2/2 = 6√2
В условии не хватает слов "параллельно АС". В противном случае задача не имеет решения (точнее одного решения, сами по себе решения есть, но - не интересные :) одно из них - треугольник MBD).
Пусть b=8; a = 4; О - центр основания, МО - высота пирамиды, сечение пересекает MD в точке Q (MQ = QD), МС в точке Р, MA - в точке G, МО в точке К. Надо найти площадь четырехугольника BGQP.
Плоскость сечения II АС, поэтому GP II AC, откуда MG/GA = МК/КО = MP/PC = 2/1; поскольку BQ и MO - медианы, и К - точка пересечения медиан треугольника MBD.
то есть
GP = (2/3)*AC = a*2√2/3; (из подобия треугольников AMC и GMP)
И еще, поскольку у квадрата диагонали перпендикулярны, AC перпендикулярно плоскости треугольника MDB, откуда следует, что GP перпендикулярно BQ, то есть площадь S четырехугольника BGQP равна S = BQ*GP/2;
Остается найти медиану m = BQ равнобедренно треугольника MDB с боковыми сторонами MD = MB = b = 8; и основанием BD = a√2; (a = 4);
(2*m)^2 = 2(a√2)^2 + b^2;
m = (1/2)*√(4*a^2 + b^2);
S = (1/2)*(a*2√2/3)*(1/2)*√(4*a^2 + b^2) = (1/6)*a*√(8*a^2 + 2*b^2);
ну и надо подставить числа.
если b = 2*a, то S = (2/3)*a^2 = 32/3;
27.04.2015
Мне предложили тут что-то изменить. Якобы ответ должен быть в 2 раза меньше. Я очень буду рад, если мне предложат грамотный анализ решения. Но я могу показать на пальцах, что ответ верный. Это как раз очень просто. В сечении получается дельтоид, у которого одна из диагоналей BQ = BD; а вторая - GP = (2/3)*AC; отсюда мгновенно понятно, что площадь сечения составляет 2/3 площади основания.
(площадь сечения) = BQ*GP/2 = (2/3)*BD*AC/2 = (2/3)*(площади основания) = (2/3)*4^2 = = 2*16/3 = 32/3;
любые попытки найти тут ошибку могут вызвать только улыбку :
Так как боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны, то проще её представить с этими рёбрами по осям координат, а вершину в начале координат.
Пусть SA по оси Oz, SB по оси Oy, SC по оси Ox.
Координаты вершин: A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(3; 0; 0), S(0; 0; 0).
Находим векторы: SA(0; 0; 2), SB(0; 4; 0), SC(3; 0; 0).
Их смешанное произведение равно:
0 0 2| 0 0
0 4 0| 0 4
3 0 0| 3 0 = 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - 24 = -24.
Объём пирамиды равен V = (1/6)|-24| = 4 куб.ед.
Находим векторы по точкам A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(3; 0; 0)
AB = (0; 4; -2), модуль равен √(0² + 4² + (-2)²) = √20 = 2√5.
AC = (3; 0; -2), модуль равен √(3² + 0² + (-2)²) = √13.
Определим площадь треугольника АВС как половину модуля векторного произведения векторов АВ и АС.
i j k| i j
0 4 -2| 0 4
3 0 -2| 3 0 = -8i - 6j + 0k - 0j - 0 i - 12k = -8i - 6j - 12k.
S = (1/2)√((-8)² + (-6)² + (-12)²) = (1/2)√(64+36+144) = (1/2)√244 = √61 кв. ед.
Можно получить ответ по формуле:
H = 3V/S = 3*4/√61 = 12/√61 = 12√61/61 ≈ 1,536.