Если в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ АС1 образует углы а, в, у с его рёбрами АВ, АD, AA1 соответственно , то cos²a+cos²b+cos²y=1. Доведите. Решите с рисунком
1) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно векторуДана точка и вектор . То есть и прямая и точка должны иметь соответствующие координаты. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору: . . Раскрыв скобки и приведя подобные, получаем уравнение плоскости общего вида Ax + By + Cz + D = 0. Для построения плоскости её уравнение общего вида надо преобразовать в уравнение в отрезках. Значения (-D/A) = a, (-D/B) = b, (-D/C) = это и есть отрезки на осях, через которые проходит плоскость.
Вообще-то есть формула для нахождения радиуса окружности, описанной около равностороннего треугольника.
R = V3/3 * a, где R - радиус описанной окружности, V - знак корня, а - сторона равностороннего треугольника
Но, если хочешь, можно и посчитать. Только чертеж сделай и смотри внимательно.
Дело в том, что в равностороннем треугольнике и высоты, и биссектрисы, и медианы пересекаются в одной точке. И эта точка является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Проведи медиану (высоту, биссектрису) из любого угла. Т. е. раздели треугольник пополам. Получился прямоугольный треугольник (высоту ведь опустили) , у которого гипотенуза равна 6 см, а катет равен 3 см (половина, медиана ведь)
По теореме Пифагора находим второй катет . Получим 3V3 (три корня из трех)
А медианы в точке пересечения делятся на отрезки в отношении 2:1. Значит, та часть, которая является радиусом окружности -- это 2V3, а другая часть 1V3
а если бы подставила в формулу, получила бы такой же ответ R= V3/3 *6= 2V3
и вектор 
. 
.
Прямоугольный параллелепипед
- ребра из одной вершины взаимно перпендикулярны
- противоположные грани - равные прямоугольники
AC1=d, AB=X, AD=Y, AA1=Z
AB⊥(BBC1) => AB⊥C1B
d^2 =Z^2 + AC^2 (т Пифагора)
AC^2 =X^2 +Y^2
=> d^2 =X^2 +Y^2 +Z^2
В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений.
∠C1AB =a, ∠C1AD=b, C1AA1=y
cosa =X/d, cosb =Y/d, cosy =Z/d
Возведем в квадрат и сложим:
cosa^2 +cosb^2 +cosy^2 =(X^2 +Y^2 +Z^2)/d^2 =d^2/d^2 =1
Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице.