Радиус вписанной в прямоугольный треугольник (с катетами a, b и гипотенузой c) окружности равен r=(a+b-c)/2. Следовательно, нам надо найти катеты треугольника, поскольку гипотенуза нам известна. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит ее на отрезки так, что квадрат высоты равен произведению этих отрезков. В нашем случае высота ВН=√(АН*НС)=√(16*9)=12см. Тогда из прямоугольных треугольников АВН и СВН по Пифагору находим катеты АВ=√(ВН²+АН²)=√(144+256)=20см. ВС=√(ВН²+СН²)=√(144+81)=15см. По формуле радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности имеем: r=(a+b-c)/2, где а,b - катет с - гипотенуза. В нашем случае r=(20+15-25)/2=5см. Тогда площадь вписанной окружности равна S=πR²=25π см² ответ: S=25π см².
Точки А и О - вершины прямых углов САК и СОК, т.к. вписанные углы САК и СОК опираются на диаметр. Следовательно, в треугольнике CNK отрезки СО и КА - высоты, т.к. перпендикулярны его сторонам CN и KN. Точка Т - пересечение высот. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. В данном случае точка Т и есть точка пересечения высот. Отрезок, проведенный из вершины треугольника через точку пересечения высот, проведенных из двух других вершин, является высотой. ⇒ прямая NT пересекает прямую СК под углом 90º.
Следовательно, нам надо найти катеты треугольника, поскольку гипотенуза нам известна.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит ее на отрезки так, что квадрат высоты равен произведению этих отрезков.
В нашем случае высота ВН=√(АН*НС)=√(16*9)=12см.
Тогда из прямоугольных треугольников АВН и СВН по Пифагору находим катеты АВ=√(ВН²+АН²)=√(144+256)=20см.
ВС=√(ВН²+СН²)=√(144+81)=15см.
По формуле радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности имеем:
r=(a+b-c)/2, где а,b - катет с - гипотенуза.
В нашем случае r=(20+15-25)/2=5см.
Тогда площадь вписанной окружности равна S=πR²=25π см²
ответ: S=25π см².