решил выкласть решение. смотри рисунок. понятно, что отрезки катетов есть отрезки касательных, они равны. Сделаем все обозначения. гипотенуза будет 1) х+у=2R По т. Пифагора (x+r)²+(y+r)²=(x+y)² раскрывая, получаем r(x+y)+r²=xy подставляем сюда 1) и получаем xy=2Rr+r² из 1) выделяем у и подставляем, приводим и т.д. и получаем
x²-2Rx+(2Rr+r²)=0 D=4(R²-2Rr-r²) x=R+/- √(R²-2Rr-r²) но т.к. x≤R то тогда x=R- √(R²-2Rr-r²) ну а нижний катет желтого треугольника тогда равен √(R²-2Rr-r²) найдем гипотенузу желтого
r²+(√(R²-2Rr-r²) )²=z² z²=R²-2Rr z=√(R*(R-2r))
P.S. Здесь я не сделал исследование по поводу допустимых значений радиусов. Просто не захотел, т.к. удлиняет решение.
У трикутнику ABC, <А = <В = 75°. Знайдіть ВС, якщо площа дорівнює 36 см2 -------------------------------------------------
В треугольнике ABC , ∠А = ∠В = 75 °. Найдите BC, если площадь равна 36 см² . -------------------------------------------------
"Решение" : ∠C = 180° -( ∠А+∠В ) =180°- ( 75° + 75° ) =180°- 150°=30° .
Достаточно провести высоту AH ( AH ⊥ BC , H ∈[ BC] )
ΔAHC : AH = AC/2 (как катет против угла 30° ) ⇔ AH = BC/2
S=BC*AH /2 = (BC*BC/2 ) /2 = BC²/4 ⇔ BC² =4S ⇔ BC =2√S
BC =2√(36 см²) = 2*6 см =12 см .
ответ : 12 см .
рисунок Δ см приложения