Билет № 3 3. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см. а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника. Так как четырехугольник описан вокруг окружности, то сумма других сторон равна 12 S=p*r=(a+b+c+d)*r/2=24*5/2=60
Билет № 4 3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см. считая от основания. Найдите периметр треугольника. Дан треугольник ABC. AB=BC. M - точка касания вписанной окружности стороны АВ. N - точка касания вписанной окружности стороны ВC. K - точка касания вписанной окружности стороны АC. AM=3. MB=4. В соответствии со свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности AM=AK CK=CN BM=BN P=3+3+4+4+3+3=20
Уравнение прямой АС: Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. 2(х+2)=13(у-3) 2х+4=13у-39 2х-13у+43=0 - уравнение прямой АС
Нормальный вектор этой прямой имеет координаты (2;-13) Уравнение прямой BD запишем в общем виде: ax+by+c=0 Нормальный вектор прямой BD имеет координаты (a;b) Нормальные векторы прямых АС и BD ортогональны, так как прямые ортогональны. Скалярное произведение таких векторов равно 0 Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат 2a-13b=0 Нетрудно догадаться, что достаточно взять а=13; b=2 Чтобы найти с подставим координаты точки В в уравнение прямой BD 13x+2y+c=0 В(4:7) x=4 у=713·4+2·7+с=0 ⇒ с=-66
Уравнение прямой BD : 13x+2y-66=0
Применяем уравнение прямой в виде у=kx+b -уравнение прямой с угловым коэффициентом k
Запишем уравнение прямой АС в виде у=kx+b Чтобы найти k и b подставим координаты точек А(-2;3) х=-2 у=3 С(11;5) х=11 у=5 в уравнение у =kx+b
Получим систему двух уравнений 3=-2k+b 5=11k+b
Вычитаем из первого уравнения второе -2=-13k⇒ k=2/13 b=3+2k=3+(4/13)=43/13
Уравнение прямой АС : у = (2/13)x+ (43/13) и Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых при умножении равны (-1) Угловой коэффициент прямой BD равен (-13/2)
Уравнение BD также пишем в виде у=kx+b Угловой коэффициент k =(-13/2) у=(-13/2)х+b
Чтобы найти b подставим координаты точки В в это уравнение В(4;7) х=4 у=7
7=(-13/2)·4+ b ⇒ b=7+26=33 Уравнение прямой BD y=(-13/2)x+ 33
3. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ - диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ВС=134°
АВ - диаметр - > < C=90 < A=67 (вписанный угол) < B=180-90-67=23
Билет № 3
3. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см. а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника.
Так как четырехугольник описан вокруг окружности, то сумма других сторон равна 12
S=p*r=(a+b+c+d)*r/2=24*5/2=60
Билет № 4
3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см. считая от основания. Найдите периметр треугольника.
Дан треугольник ABC. AB=BC. M - точка касания вписанной окружности стороны АВ. N - точка касания вписанной окружности стороны ВC. K - точка касания вписанной окружности стороны АC. AM=3. MB=4.
В соответствии со свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности
AM=AK CK=CN BM=BN
P=3+3+4+4+3+3=20