Ромб АВСД, АВ=ВС=СД=АД=8, радиус=2*корень3, проводим перпендикуляры в точки касания ОН на АД и ОМ на АВ, ОН в квадрате=АН*НД - (это уравнение получается из отношения сторон подобных треугольников, треугольник АОН подобен треугольнику НОД как прямоугольные по равным острым углам - угол АОН=90-1/углаА=90-30=60, уголНДО)=1/2 углаД=(180-60)/2=60, тогда АН/ОН=ОН/НД или ОН в квадрате=АН*НД), НД=х, АН=8-х, 12=(8-х)*х, х в квадрате-8х+12=0, х=(8+-корень(64-4*12))/2=8+-4/2, х1=2=НД, х2=6=АН, АН=АМ-как касательные проведенные из одной точки=6, треугольник АМН равнобедренный, но уголА=60, а уголАМН=уголАНМ=(180-60)/2=60, треугольник равносторониий, МН=АН=АМ=6
В начале построим рисунок, который приложу вложением. Для наглядности соединим т. О поочерёдно с точками A, B, C, D. Получаем пирамиду с вершиной в т. O, в основании которой лежит квадрат ABCD. Первый вопрос: 1). Докажем, что плоскость ABCD параллельна плоскости A1B1C1D1. Для этого построим пары диагоналей AC, BD, а также A1C1, B1D1. 2). Теперь рассмотрим треугольник OBD. Прямая B1D1 параллельна прямой BD, как средняя линия треугольника OBD, т.к. B1D1 соединяет середины его сторон B1 и D1 (эти точки середины по условию). 3). Теперь рассмотрим треугольник OAC. Прямая A1C1 параллельна прямой AC, как средняя линия треугольника OAC, т.к. A1C1 соединяет середины его сторон A1 и C1 (эти точки середины по условию). 4). Тогда получаем, что две пересекающиеся прямые AC и BD плоскости ABCD параллельны двум пересекающимся прямым A1C1 и B1D1 плоскости A1B1C1D1, а из этого, по теореме о параллельности двух плоскостей, следует, что плоскости ABCD и A1B1C1D1 параллельны, что и требовалось доказать. Второй вопрос: 1). Рассмотрим треугольник OBA. B1A1 - средняя линия треугольника OBA, т.к. соединяет середины сторон OB и OA (B1 и D1 середины по условию). Тогда B1A1=1/2 AB=10/2=5. 2). Аналогично B1C1 - средняя линия треугольника BC, C1D1 - средняя линия треугольника CD, A1D1 - средняя линия треугольника AD. 3). Тогда, B1C1=5, C1D1=5, A1D1=5. 4). Периметр A1B1C1D1=B1C1+C1D1+A1D1+B1A1=5+5+5+5=20
