Cм. рисунок в приложении В основании пирамиды равносторонний треугольник АВС: АВ=ВС=АС=4 см. В равностороннем треугольнике все высоты равны. Высоты являются одновременно медианами и биссектрисами. МО ⊥ пл. АВС. ОА=ОВ=ОС=R ( радиус описанной окружности). R=a√3/3, где а- сторона правильного треугольника. ОА=ОВ=ОС=4√3/3 ОК=OD=r ( радиус вписанной окружности). Медианты в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. r=R/2=2√3/3
Равные проекции имеют равные наклонные. МА=МВ=МС.
а) АК- высота, медиана и биссектриса Δ АВС. АК⊥ВС ВК=КС. МК⊥BC по теореме о трех перпендикулярах ( проеция МК- ОК, ОК⊥ВС, так как АК ⊥ ВС). ВС ⊥ АК и ВС⊥ МК ВС ⊥ двум пересекающимся прямым плоскости АМК, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ВС ⊥ пл. АМК, а значит и пл. АМО. Чтобы найти линейный угол двугранного угла между плоскостями АМО (АМК) и ВМС, надо провести перпендикуляры к линии их пересечения. Линией пересечения является МК. Проводим АЕ⊥МК и ЕF║ВС. (ВС⊥МК ⇒ ЕF⊥MK).
б) Угол между плоскостями АВС и МВС. Линией пересечения плоскостей является сторона ВС. АК⊥ВС МК⊥ВС Угол МКА - линейный угол двугранного угла. Из прямоугольного треугольника МОК tg ∠МКО=MO/OК=2/(2√3/3)=√3 ∠МКО=60°
в) угол между прямой МС и плоскостью АВС - угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Проекцией МС на плоскость АВС является ОС. Из прямоугольного треугольника МОС tg∠MCO=MO/OC=2/(4√3/3)=√3/2 ∠MCO=arctg (√3/2).
Найдем высоту пирамиды SO из треугольника BSO. Катет ВО равен 4√2 как половина диагонали квадрата (это основание пирамиды со стороной 8): SO = √(6² - (4√2)²) = √(36-32) = √4 = 2. Так как отрезок МК параллелен диагонали АД, то он отсекает на высоте одну третью часть (свойство подобных треугольников), которая равна: ОР = (1/3)*2 = 2/3. Угол ВОР - это угол пересечения заданных плоскостей (угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях). Тангенс этого угла равен tg α = (2/3) / (4√2) = 1 /(6√2) = 0,117851. Угол равен arc tg 0,117851 = 0,11731 радиан = 6,721369°.
В основании пирамиды равносторонний треугольник АВС:
АВ=ВС=АС=4 см.
В равностороннем треугольнике все высоты равны.
Высоты являются одновременно медианами и биссектрисами.
МО ⊥ пл. АВС.
ОА=ОВ=ОС=R ( радиус описанной окружности).
R=a√3/3, где а- сторона правильного треугольника.
ОА=ОВ=ОС=4√3/3
ОК=OD=r ( радиус вписанной окружности).
Медианты в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
r=R/2=2√3/3
Равные проекции имеют равные наклонные.
МА=МВ=МС.
а) АК- высота, медиана и биссектриса Δ АВС.
АК⊥ВС
ВК=КС.
МК⊥BC по теореме о трех перпендикулярах ( проеция МК- ОК, ОК⊥ВС, так как АК ⊥ ВС).
ВС ⊥ АК и ВС⊥ МК
ВС ⊥ двум пересекающимся прямым плоскости АМК, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ВС ⊥ пл. АМК, а значит и пл. АМО.
Чтобы найти линейный угол двугранного угла между плоскостями АМО (АМК) и ВМС, надо провести перпендикуляры к линии их пересечения.
Линией пересечения является МК.
Проводим АЕ⊥МК и ЕF║ВС. (ВС⊥МК ⇒ ЕF⊥MK).
б) Угол между плоскостями АВС и МВС.
Линией пересечения плоскостей является сторона ВС.
АК⊥ВС
МК⊥ВС
Угол МКА - линейный угол двугранного угла.
Из прямоугольного треугольника МОК
tg ∠МКО=MO/OК=2/(2√3/3)=√3
∠МКО=60°
в) угол между прямой МС и плоскостью АВС - угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Проекцией МС на плоскость АВС является ОС.
Из прямоугольного треугольника МОС
tg∠MCO=MO/OC=2/(4√3/3)=√3/2
∠MCO=arctg (√3/2).