Question

Дан равнобедренный треугольник ABC, (АВ=ВС). Точка 0- середина высоты BD. Луч АО пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите площадь треугольника ВОЕ, если площадь треугольника ABC равна 72.

Answer 1

$\boldsymbol{S_{BOE}}\boldsymbol{=6}$

Объяснение:

Проведем ВК║АС (К - точка пересечения прямых ВК и АЕ).

ΔВОК = ΔDOA по стороне и двум прилежащим к ней углам (ВО = OD, ∠ВКО = ∠DAO как накрест лежащие при ВК║АС и секущей АК, углы при вершине О равны как вертикальные), ⇒

ВК = AD = b/2

ΔBKE ~ ΔCAE по двум углам (∠ВКО = ∠DAO, углы при вершине Е равны как вертикальные),

$\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{BK}{AC}=\dfrac{1}{2}$

Площади треугольников с общей высотой относятся как стороны, к которым можно провести эту высоту.

В треугольниках АВЕ и АСЕ можно провести общую высоту из вершины А к сторонам ВЕ и ЕС соответственно, поэтому

$\dfrac{S_{ABE}}{S_{ACE}}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{1}{2}$

То есть

$\boldsymbol{S_{ABE}}=\dfrac{1}{3}S_{ABC}=\dfrac{1}{3}\cdot 72\boldsymbol{=24}$

BD - медиана равнобедренного треугольника АВС, делит его на два равновеликих:

$\boldsymbol{S_{ABD}}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot 72\boldsymbol{=36}$

AO - медиана треугольника ABD, делит его  на два равновеликих:

$\boldsymbol{S_{ABO}}=\dfrac{1}{2}S_{ABD}=\dfrac{1}{2}\cdot 36\boldsymbol{=18}$

$\boldsymbol{S_{BOE}}=S_{ABE}-S_{ABO}=24-18\boldsymbol{=6}$