Зачетная работа по теме «Понятие вектора» Вариант 2
1. Решите задачу на построение:
Постройте три попарно неколлинеарных вектора ⃗, ⃗⃗, ⃗.
1) Постройте: а) вектор ⃗, противоположно направленный вектору ⃗⃗;
б) вектор ⃗, сонаправленный вектору ⃗.
2) Постройте векторы: а) ⃗⃗ = ⃗ + ⃗; б) ⃗ = 2⃗ + ⃗⃗ − ⃗; в) ⃗ =
3
2
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗3⃗⃗⃗⃗ + ⃗0⃗⃗⃗,
⃗5⃗⃗⃗⃗
2. Укажите номера верных утверждений:
1) Модуль вектора может быть любым числом
2) Два сонаправленных вектора коллинеарны
3) Два вектора называются противоположными, если они противоположно
направлены
4) От любой точки можно отложить только один вектор, равный данному
5) Равные векторы могут быть противоположно направленными
6) Векторы ⃗⃗⃗ и −2⃗⃗⃗ сонаправлены
7) Длина нулевого вектора равна нулю
3. ABCD – параллелограмм. Точка О – точка пересечения
диагоналей параллелограмма. По данным рисунка
запишите:
1) Какие векторы противоположно направлены с
вектором ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2) Какие векторы равны вектору ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3) Какие векторы коллинеарны вектору ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4. Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение:
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) + (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
5. Дан параллелограмм ABCD. Точка О – точка пересечения диагоналей
параллелограмма. Выразите векторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через векторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ и ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗
6. В прямоугольнике ABCD точка О – точка пересечения диагоналей. Найдите:
а) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
б) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
в) |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|, если АВ = 2 см, а ВС = 4 см
Контрольная работа по теме «Векторы»
Вариант 2
1. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка Р так, что СР = PD, О – точка пересечения диагоналей.
Выразите векторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через векторы ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
2. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее
основание — 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.
3. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 12 см, АВ = 9 см, D = 450
. Найдите длины
векторов ⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
4. Точки К и М лежат соответственно на сторонах AВ и СD параллелограмма ABCD; AК = КВ,
СМ : MD = 2 : 5. Выразите вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через векторы ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
5. В треугольнике MNP точка О — точка пересечения медиан. Выразите вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ через векторы
Произведения длин отрезков, на которые разбита точкой пересечения каждая из хорд, равны.
Пусть это будут хорды АВ и СМ, Е -точка их пересечения.
АЕ=ВЕ, СЕ=3, МЕ=12
Сделаем рисунок. Соединим А и М, С и В.
Рассмотрим получившиеся треугольники АЕМ и ВЕС
Они имеют два угла, опирающихся на одну и ту же дугу, следовательно, эти углы равны. Третий их угол также равен. ⇒
Треугольники АЕМ и ВЕС подобны
Из подобия следует отношение:
АЕ:СЕ=МЕ:ВЕ
АЕ*ВЕ=СЕ*МЕ
Так как АЕ=ВЕ, то
АЕ²=3*12=36
АЕ=√36=6,
АВ=2 АЕ=12 см