Question

В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые. а) Докажите, что АВ = CD.

б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 7.

Answer 1

8 ед.

Объяснение:

Дано: ABCD - трапеция.

∠ABD = ∠ACD = 90°

AB = 2, BC = 7.

Доказать: АВ = CD;

Найти: АD.

Доказательство:

Рассмотрим ΔABD и ΔACD - прямоугольные.

Проведем медианы ВО и СО соответственно.

Так как AD - общая для данных треугольников, то медианы пересекут AD в точке О.

Медиана, проведенная из прямого угла прямоугольного треугольника к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

⇒ АО = OD = OC = OB.

⇒ точки A, B, C, D будут лежать на одной окружности, то есть вокруг данной трапеции можно описать окружность.

Если вокруг трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная.

⇒ АВ = CD

Проведем высоту ВН.

В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на основание, делит это основание на отрезки, меньшее из которых равно полуразности оснований.

⇒ АН = (АD-ВС):2 = (AD-7):2

Пусть АН = х, тогда х = (AD-7):2

или AD=2x+7

Рассмотрим ΔАВН и ΔABD - прямоугольные.

∠А - общий.

⇒ ΔАВН ~ ΔABD (по двум углам)

Составим пропорцию:

$\displaystyle \frac{AB}{AD}=\frac{AH}{AB}\\\\\frac{2}{2x+7} =\frac{x}{2}$

$\displaystyle 2x^2+7x=4\\2x^2+7x-4=0\\\\x_{1,2}=\frac{-7^+_-\sqrt{49+32} }{4}=\frac{-7^+_-9}{4}\\\\x_1=\frac{1}{2};\;\;\;\;\;x_2=-4$

x₂ - не подходит

⇒ $\displaystyle x=\frac{1}{2}$

AD = 2x+7 = 8(ед)