В этой задаче только одна тонкость - 140 градусов - это угол при вершине. Поэтому угол при основании равен Ф = (180 - 140)/2 = 20 градусов (или пи/9).
Осталось вспомнить теорему синусов 2*R*sin(Ф) = a; а = 10;
R = 5/sin(пи/9); само собой, это можно вычислить только приближенно (если только учитель не садист :) но в любом случае, это за пределами всех школьных программ)
R = 5/0,342020143325669 = 14,6190220008154; (слава Гейтсу, есть Excel)
Вот, чего только не узнаешь, ковыряясь в тривиальных задачах. Оказывается, тригонометрические функции угла 20 градусов теоретически невозможно выразить в радикалах. Оказывается, это противоречит некоей теореме Гаусса, согласно которой с циркуля и линейки можно построить не любой правильный n-угольник, а только для некоторых n, и 18-угольники в это разрешенное множество не входят. В частности, можно выразить в радикалах функции всех углов, кратных 3 градусам.
Однако это не означает, что cos(пи/9) (или синус, не важно) нельзя "вычислить на кончике пера". Легко видеть, что
cos(60) = 4*(cos(20))^3 - 3*cos(20); если x = cos(20); то
x^3 - (3/4)*x - 1/8 = 0;
У этого уравнение есть по крайней мере один действительный корень (равный косинусу 20 градусов, конечно). Есть формулы Кардано для решения в радикалах таких уравнений. Но - вот беда - результат, хоть и действительный, и будет выражен в радикалах, обязательно будет содержать внутри записи мнимую единицу i; i^2 = -1; и избавиться от неё в выражении никак не получится (в противном случае нарушилась бы та самая теорема Гаусса). : это я так - развлекаюсь :)))
Катеты данного прямоугольного треугольника равны 2√10 см и 6√10 см.
Объяснение:
Рисунок прилагается.
Дано: ABC прямоугольный треугольник, ∠ С = 90°, CH- высота, AH = 2 см - проекция катета AC на гипотенузу, BH = 18 см - проекция катета BC на гипотенузу.
Найти катеты AC и BC.
Обозначим для удобства катеты AC = a, BC = b, проекции катетов AH = a₁, BH = b₁, высоту CH = h.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу, равна среднему пропорциональному проекций катетов на гипотенузу.
h² = a₁*b₁ = 2 * 18 = 36; h = 6
⇒ Высота треугольника, опущенная на гипотенузу CH = h = 6 см.
Из прямоугольного ΔACH по теореме Пифагора:
a² = h² + a₁² = 6² + 2² = 36 + 4 = 40; a = √40 = 2√10
Катет AC = 2√10 см/
Из прямоугольного ΔBCH по теореме Пифагора:
b² = h² + b₁² = 6² + 18² = 36 + 324 = 360; b = √360 = 6√10
Катет BC = 6√10 см.
Катеты данного прямоугольного треугольника равны 2√10 см и 6√10 см.