Если медианы AN, BP, CK треугольника ABC пересекаются в точке О, то можно рассмотреть треугольник ONR, где R - середина ОС. Т.к. медианы точкой О делятся в отношении 1:2, то стороны ONR в 3 раза меньше соответствующих медиан (OR=KC/3, NR=OB/2=BP/3, ON=AN/3). Значит его площадь в 9 раз меньше площади треугольника, составленного из медиан. Т.к медианы равны 3,4,5, то это прямоугольный треугольник, и значит S(ONR)=(3*4/2)/9=2/3. С другой стороны S(ONR)=S(ONC)/2=S(OBC)/4=S(ABC)/12. Т.е. S(ABC)=(2/3)*12=8.
Дано:
∆АВС - прямоугольный.
ВЕ - биссектриса.
∠А = 30°
ВЕ = 6 см
Найти:
∠ВЕА; СЕ; АС
Решение.
Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90°
=> ∠В = 90 - 30 = 60°
Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.
=> ВС = 1/2АВ
∠ЕВА = ∠ЕВС = 60 ÷ 2 = 30° (т.к. ВЕ - биссектриса)
Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.
=> СЕ = 1/2ВЕ = 6 ÷ 2 = 3 см.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
=> ∠ВЕС = 90 - 30 = 60°
СУММА СМЕЖНЫХ УГЛОВ РАВНА 180°
=> ∠ВЕА = 180 - 60 = 120°
∠В = ∠А = 30°
=> ∆АЕВ - равнобедренный.
=> ЕВ = ЕА = 6 см, по свойству равнобедренного треугольника.
СА = 3 + 6 = 9 см
ответ: 120°; 9 см; 3 см.