Точка K лежит на стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD и делит ее в отношении 1:3, считая от вершины - id2054008520221106 от Элечка195 06.11.2022 13:59

Question

Геометрия: Точка K лежит на стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD и делит ее в отношении 1:3, считая от вершины A. Известно, что площади треугольников АВК, ВКС и КСD состоят в пропорции 1:3:3 соответственно. Определить, в каком отношении отрезок КС делит диагональ четырёхугольника BD.

Элечка195 · Accepted Answer

Т.к. РQ соединяет середины непересекающихся сторон ВС и АД четырёхугольника, то значит она является средней линией четырехугольника.
Доказано, что средняя линия четырехугольника меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, т.е. PQ<(AB+CD)/2 или PQ=(AB+CD)/2. Однако равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны АВ||СД.
Получается, что у четырехугольника две противоположные стороны АВ и СД параллельны, а 2 другие не параллельны, значит этот четырехугольник по определению называется трапецией. Именно средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований PQ=(AB+CD)/2.

MOGZ ответил