1. * Вершину треугольника соеди- няют с произвольными точками на его противоположной стороне. Докажите, что середины всех полученных отрезков лежат на одной прямой. ( рис.)
Объясние:Вершину треугольника соеди- няют с произвольными точками на его противоположной стороне. Докажите, что середины всех полученных отрезков лежат на одной прямой. ( рис.)
Для решения задачи используем векторную интерпретацию функции. Пусть вектор a , а вектор b Здесь векторы заданы своими координатами.
Найдём координаты суммы этих векторов. a + b = Тогда его длина
Найдём длины каждого из введённых векторов. Очевидно, что они равны первому и второму слагаемым соответственно:
А теперь воспользуемся неравенством треугольника для двух векторов.
А именно, Это неравенство обращаем остриём вправо:
Наше выражение - это ни что иное, как сумма длин введённых векторов. Справа стоит длина суммы векторов, которую мы знаем. Отсюда получаем наименьшее значение функции:
Необходимо найти теперь точку, в которой достигается это наименьшее значение. Проще всего это сделать из нашего же неравенства треугольника. В нужной точке, разумеется, достигается равенство. Равенство в неравенстве треугольника достигается при условии сонаправленности векторов. Воспользуемся им.
Замечаем, что вторая координата первого вектора в корень из 3 раз больше соответствующей координаты второго. У сонаправленных векторов координаты пропорциональны. Значит,
Решая это уравнение, мы получаем, что В этой точке достигается наименьшее значение функции.
В равнобедренном треугольнике равны не только боковые стороны, но и прилежащие к основанию углы. Рассмотрим на треугольнике MFE, где MF=FE. Опустим высоту FH. Треугольник MFH=EFH (они оба прямоугольные, FH-общая, MF=EF по условию.). Значит угол М равен углу Е. Т.е. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Начертим треугольник ABC. Пусть равными высотами будут высоты AA1 и CC1. Треугольники ACC1 и CAA1 прямоугольные и имеют равные катеты (AA1 = CC1) и общую гипотенузу (AC), значит они равны по катету и гипотенузе. Т.к. треугольники ACC1 и CAA1 равны, углы A и C равны., значит АВ=СВ, следовательно треугольник равнобедренный.
, а вектор b 
Объясние:Вершину треугольника соеди- няют с произвольными точками на его противоположной стороне. Докажите, что середины всех полученных отрезков лежат на одной прямой. ( рис.)