Question

Дано: BC = B_{1}*C_{1}, AC = A_{1}*C_{1} AB = A_{1}*B_{1} BK и AN- биссектрисы; B_{1}*K_{1} и A 1 N 1 - биссектрисы. Доказать: Delta*A * B * O = Delta*A_{1} * B_{1} * O_{1}

Answer 1

Для начала, давайте разберемся с обозначениями. У нас есть треугольник ABC и его биссектрисы BK и AN. Также у нас есть точки B₁, C₁, A₁ на сторонах треугольника BC, AC и AB соответственно. Помимо этого, есть еще точки K₁ и N₁ на биссектрисах BK и AN.

Условие задачи говорит, что BC = B₁C₁, AC = A₁C₁ и AB = A₁B₁. Мы можем понять это так, что стороны треугольника делаются на части, пропорциональные друг другу. То есть отношение длины BC к длине B₁C₁ равно отношению длины AC к длине A₁C₁, и так далее.

Мы также знаем, что BK и AN - биссектрисы треугольника ABC. Это означает, что они делят углы B и C, и углы A и C соответственно на две равные части. То есть измерение угла ABK равно измерению угла CBK, и измерение угла BAC равно измерению угла CAN.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ΔABK и ΔA₁B₁K₁. У нас есть следующие равенства сторон:

AB = A₁B₁ (по условию)
BK = B₁K₁ (по построению биссектрисы)

Также у нас есть следующие равенства углов:

∠ABK = ∠A₁B₁K₁ (по построению биссектрисы)
∠BAK = ∠B₁AK₁ (по построению биссектрисы)

Теперь мы должны доказать, что площади треугольников ΔABO и ΔA₁B₁O₁ равны. Для этого мы можем использовать формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь ΔABO = (1/2) * AB * BO * sin(∠ABO)
Площадь ΔA₁B₁O₁ = (1/2) * A₁B₁ * B₁O₁ * sin(∠A₁B₁O₁)

Мы уже знаем, что AB = A₁B₁ и ∠ABO = ∠A₁B₁O₁, поэтому остается только доказать, что BO = B₁O₁ и sin(∠ABO) = sin(∠A₁B₁O₁).

Чтобы это сделать, давайте рассмотрим треугольники ΔBCO и ΔB₁C₁O₁. У нас есть следующие равенства сторон:

BC = B₁C₁ (по условию)
BO = B₁O₁ (по построению биссектрисы)

Также у нас есть следующие равенства углов:

∠BCO = ∠B₁C₁O₁ (по построению биссектрисы)
∠CBO = ∠C₁B₁O₁ (по построению биссектрисы)

Теперь мы можем использовать закон синусов для треугольников ΔBCO и ΔB₁C₁O₁:

BC/sin(∠BCO) = BO/sin(∠CBO)
B₁C₁/sin(∠B₁C₁O₁) = B₁O₁/sin(∠C₁B₁O₁)

Мы уже знаем, что BC = B₁C₁, ∠BCO = ∠B₁C₁O₁, ∠CBO = ∠C₁B₁O₁ и BO = B₁O₁, поэтому остается только доказать, что sin(∠ABO) = sin(∠A₁B₁O₁).

Мы знаем, что углы ∠ABO и ∠A₁B₁O₁ сонаправлены и имеют одинаковую меру (так как они - биссектрисы угла A и B). Следовательно, sin(∠ABO) = sin(∠A₁B₁O₁).

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников ΔABO и ΔA₁B₁O₁ равны.