Question

с решением задач 1. В четырехугольнике АВСД: АВ=СД, ∠АВД=28°, ∠ВДС=28°
Докажите, что АВСД – параллелограмм.
2. В ромбе АВСД угол А равен 160° . Диагонали ромба пересекаются в точке О. Найти углы треугольника АОВ.

Answer 1

Для доказательства, что четырехугольник АВСД является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны.

1. Докажем, что стороны АВ и СД параллельны:
Рассмотрим углы АВД и ВДС.
Из условия задачи, угол АВД = 28°, угол ВДС = 28°.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол ВАД = 180° - 28° - 28° = 124°.
Рассмотрим угол АСД.
Так как АВ = СД, то угол А = углу С, а также угол В = углу Д.
Тогда угол АСВ = 180° - углу АВД = 180° - 28° = 152°.
Также, угол СДВ = 180° - углу ВДС = 180° - 28° = 152°.
Значит, углы АСВ и СДВ равны, следовательно прямые, на которых лежат стороны АВ и СД, параллельны.

2. Докажем, что стороны АВ и СД равны:
Рассмотрим треугольники АВД и СДВ.
Угол В равен 180° - углу АСВ.
Так как углы АСВ и СДВ равны 152°, то угол В = 180° - 152° = 28°.
Угол АВД равен углу ВДС (28° по условию).
Значит, треугольники АВД и СДВ равны по двум углам и стороне, а значит сторона АВ равна стороне СД.

Таким образом, мы доказали, что стороны АВ и СД параллельны и равны, что является определением параллелограмма.

Теперь перейдем ко второму вопросу:

Дано, что угол А ромба равен 160°, диагонали ромба пересекаются в точке О.
Требуется найти углы треугольника АОВ.

1. Угол О равен 360° - сумме всех углов ромба, то есть 360° - 4 * 90° = 360° - 360° = 0°.

2. Так как О - точка пересечения диагоналей ромба, то угол АОВ равен половине угла АОС, где С - вершина ромба, противоположная вершине А.
Угол АОС равен 180° - угол А = 180° - 160° = 20°.
Половина угла АОС равна 20° / 2 = 10°.

Таким образом, углы треугольника АОВ равны 0°, 10° и 170°.