Question

Какие утверждения верны, если окружность задана уравнением (x-5)^2+(y-3)^2 = 108(x−5) 2
+(y−3)
2
=108 ?

Выбери все верные варианты ответа.

Точка с координатами (5;3)(5;3) — центр окружности

Радиус окружности равен 6\sqrt26
2


Точка начала координат не принадлежит окружности

Точка (-3;-2)(−3;−2) лежит на окружности

Окружность пересекает оси абсцисс и ординат

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, нужно разобраться в уравнении окружности и анализировать каждое утверждение отдельно. Давайте решим этот вопрос поэтапно. 1. Точка с координатами (5;3) - центр окружности: Чтобы определить центр окружности по уравнению, мы должны перейти от общего уравнения окружности к каноническому виду (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус. Нам дано уравнение (x-5)^2 + (y-3)^2 = 108. Сравнивая это уравнение с каноническим видом, мы видим, что (a,b) = (5,3). Таким образом, это утверждение верно. 2. Радиус окружности равен 6sqrt2: Чтобы найти радиус окружности по уравнению, мы должны сравнить коэффициент при x^2 и y^2 в общем уравнении окружности с квадратом радиуса в каноническом виде. В нашем случае, коэффициент при x^2 и y^2 равен 108, поэтому r^2 = 108. Радиус окружности равен sqrt(108) = 6sqrt(3) (а не 6sqrt(2)). Таким образом, это утверждение неверно. 3. Точка начала координат не принадлежит окружности: Для проверки этого утверждения, мы можем подставить x=0 и y=0 в уравнение окружности. Получим (0-5)^2 + (0-3)^2 = 108(0-5)^2 + (0-3)^2 = 108*25 + 9 = 2709. Мы видим, что у нас получается неравенство. Значит, точка начала координат (0,0) не принадлежит окружности. Утверждение верно. 4. Точка (-3;-2) лежит на окружности: Для проверки этого утверждения, мы можем подставить x=-3 и y=-2 в уравнение окружности. Получим (-3-5)^2 + (-2-3)^2 = 108(-3-5)^2 + (-2-3)^2 = 1800. И мы видим, что это снова неравенство. Значит, точка (-3;-2) не лежит на окружности. Утверждение неверно. 5. Окружность пересекает оси абсцисс и ординат: Для определения пересечения окружности с осями, мы должны рассмотреть значение y и x, когда они равны нулю в уравнении окружности. Подставим y=0 и решим это уравнение относительно x: (x-5)^2 + (0-3)^2 = 108 (x-5)^2 + 9 = 108 (x-5)^2 = 99 x-5 = sqrt(99) или x-5 = -sqrt(99) x = 5+sqrt(99) или x = 5-sqrt(99) Мы видим, что у нас есть два разных значения x, которые соответствуют пересечению окружности с осью абсцисс. То же самое можно сделать для оси ординат. Таким образом, это утверждение верно. Итак, из всех предложенных утверждений, верны первое (точка (5;3) - центр окружности), третье (точка начала координат не принадлежит окружности) и пятое (окружность пересекает оси абсцисс и ординат).