Question

Площадь ромба равна 100 см², а острый угол равен 30°. Найти диагонали d1 i d2 ромба. Решение должно быть 10(√3+1) и 10(√3-1) см

Answer 1

$d_1=10(\sqrt{3} -1)$, $d_2=10(\sqrt{3}+1)$

Объяснение:

Для начала найдем сторону ромба по формуле $S=a^2 \sin (30 ^\circ)$ имеем $a=\sqrt{\frac{S}{\sin {30^\circ}} }=\sqrt{2S}=\sqrt{2 \cdot 100}=\sqrt{200}$. Так как диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, то прямоугольный треугольник образованный половинами диагоналей и стороной будет иметь угол $15^\circ$. Причем гипотенуза его равна $\sqrt{200}$, а катеты половины диагоналей.

Имеем формулы $0,5d_1=a \cdot \sin(\alpha/2), 0,5d_2=a \cdot \cos(\alpha/2)$. Где α острый угол между двумя сторонами ромба. Осталось посчитать $\sin (\alpha/2)=\sin (30^\circ/2)=\sin 15^\circ$ подставить в формулу.

$\sin 15^\circ=\sqrt{(\sin 15^\circ)^2} =\sqrt{\sin^2 15^\circ} =\sqrt{ \frac{1-cos(2 \cdot 15^\circ)}{2}} =\sqrt{ \frac{1-cos(30^\circ)}{2}} =\sqrt{ \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2} }{2}}=$

$=\sqrt{ \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2} }{2}}=\sqrt{ \frac{2-\sqrt{3}}{4}}= \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ .

Далее имеем:

$0,5d_1=a \cdot \sin(\alpha/2)=\sqrt{200} \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{3} }}{2} =5(\sqrt{3}-1)$ ⇒ $d_1=10(\sqrt{3} -1)$

$0,5d_2=a \cdot \cos(\alpha/2)=\sqrt{200} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{3} }}{2} =5(\sqrt{3}+1)$ ⇒ $d_2=10(\sqrt{3}+1)$