1 см, 2 см, 3 см.
Объяснение:
Пусть а, b и с - это длины рёбер.
Тогда:
а*b = 2 - уравнение 1;
b*c = 3 - уравнение 2;
а*с = 6 - уравнение 3.
Из второго уравнения следует, что:
b = 3/c.
Из третьего уравнения:
а = 6/с.
Подставляем полученные выражения а и b в первое уравнение:
6/с * 3/c = 2
18/с² = 2
2с² =18
с² = 9
с = 3.
Тогда из третьего уравнения следует, что
а = 6 : 3 = 2.
Из второго уравнения следует, что
b = 3 ^ 3 = 1.
Проверка:
а*b = 2*1=2 - соответствует условию задачи;
b*c = 1*3=3 - соответствует условию задачи;
а*с = 2*3=6 - соответствует условию задачи.
ответ: 1 см, 2 см, 3 см.
Значит стороны треугольника О1О2О3 равны:5,6 и 7.
Тогда площадь этого треугольника по Герону равна:
S=√[p*(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр, а,b,с - стороны треугольника.
р=(5+6+7)/2=9. S=√(9*4*3*2)=6√6.
Заметим, что окружность, описанная вокруг треугольника АВС - это вписанная в треугольник О1О2О3 окружность, так как точки А, В и С окружности принадлежат сторонам О1О2,О2О3 и О3О1 соответственно.
Докажем это. Есть формула нахождения длины отрезка от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью: расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=(a+b-c)/2 или d=р-с, где р - полупериметр, с - сторона, противоположная углу треугольника.
В нашем случае: О1А=9-7=2, О2А=9-6=3, О3В=9-5=4, следовательно, точки касания вписанной в треугольник АВС окружности совпадают с точками А, В и С касания данных нам окружностей.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен r=S/p или в нашем случае
r=6√6/9=2√6/3.
ответ: r=2√6/3.