Пирамида правильная, значит в основании квадрат и боковые ребра равны между собой и равны L. Высота проецируется в центр основания - точку пересечения диагоналей квадрата - О. SO - высота пирамиды, ∠CSD = α - плоский угол при вершине. Если конус вписан в пирамиду, то его высота совпадает с высотой пирамиды, а основание - круг, вписанный в основание пирамиды.
ΔCSD: по теореме косинусов CD² = CS² + DS² - 2CS·DS·cosα = L² + L² - 2·L·L·cosα = 2L²·(1 - cosα) CD = L√(2(1 - cosα)) Радиус круга, вписанного в квадрат, равен половине стороны квадрата: r = CD/2 = L√(2(1 - cosα)) / 2 - радиус основания конуса. CO = AC/2 = CD√2/2 = 2L√(1 - cosα)/4 = L√(1 - cosα) Из треугольника COS по теореме Пифагора SO = √(SC² - OC²) = √(L² - L²(1 - cosα)) = L√cosα Vц = 1/3 · πr² · SO = 1/3 · π ·L²(2(1 - cosα))/4 · L√cosα = πL³ (1 - cosα)√cosα/6 Воспользуемся формулой синуса половинного угла: 2sin²(α/2) = 1 - cosα: Vц = πL³sin²(α/2)√cosα / 3
Т.к. АВСД - ромб, то у него все стороны равны, диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся по-полам. АО=ОС; ВО=ОД=3см (6/2).
Прямая ОК перпендикулярна плоскости, значит и перпендикулярна всем прямым на этой плоскости. ОК перпендикулярна прямым ВД и АС.
Рассмотрим треугольник АОВ - прямоугольный. По теореме Пифагора
АО= sqrt(АВ^2- ВО^2)=sqrt(25-9)=4см
Опускаем наклонные из точки К к прямым АО и ВО.
Из треугольника АОК- прямоугольного по теореме Пифагора АК=sqrt(64+16)=sqrt(80)= 4sqrt(5)/
Из треугольника ВКО - прямоугольного, ВК= sqrt(64+9)=sqrt(73) см
ОТВЕТ:sqrt(80); sqrt(73).