В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=АС) угол А равен 100°, отрезок ВD- биссектриса треугольника. Докажите, что ВD+AD=BC ———————
Сделаем рисунок.
∠АВС=∠АСВ=(180°-100°):2=40°
Проведем биссектрису СМ и отрезок МD.
В ∆ АМС и ∆ АDВ стороны АВ=АС по условию.
Угол при А - общий, углы АВD=АСМ =40:2=20° как половины равных углов.
∆ АМС = ∆ АDВ по равной стороне и прилежащим к ней равным углам.
Следовательно, АМ=АD, и ∆ АМD - равнобедренный.
Углы треугольников АВС и АМD при их основаниях равны, они соответственные при пересечении двух прямых секущими, и поэтому МD||ВС (свойство), ⇒
∠ DМС=∠МСВ как накрестлежащие при параллельных прямых и секущей.
А т.к. СМ - биссектриса, то ∠ DСМ=∠ МСD
∆ МDС - равнобедренный, МD=DС.
Отложим на ВС отрезок ВК=ВD Соединим D и К.
∆ КВD - равнобедренный по построению.
Угол КВD=20°. следовательно, углы при КD=по 80°
Тогда угол СКD=100° как смежный углу DKB .
∠ КДС=180°-100°-40°=40° ⇒ ∆ СКD - равнобедренный. и равен треугольнику МАD по стороне и прилежащим к ней углам. КС=АD
ВС=ВК+КС, КС=АD, ⇒ ВD+АD=ВС, что и требовалось доказать.
Определим координаты всех заданных точек.
Для этого поместим пирамиду точкой А в начало координат, точку В - на оси ОУ.
Координаты точки А Координаты точки B Координаты точки C
ax ay az bx by bz cx cy cz
0 0 0 0 1 0 0.866 0.5 0
Координаты точки Д Координаты точки Е
дx дy дz Еx Еy Еz
0.2887 0.5 0.8165 0 0.5 0
Координаты точки Р Координаты точки М
Рx Рy Рz Мx Мy Мz
0.3849 0.66667 0.2722 0.433 0.25 0.
Находим координаты векторов МР и ДЕ.
x y z
Вектор МР={xР-xМ, yР-yМ, zР-zМ} -0,048113 0,4166667 0,27216553 Вектор ДЕ={xЕ-xД, yЕ-yД, zЕ-zД} -0,288675 0 -0,81649658.
Косинус угла между векторами определяем по формуле:
Подставив координаты векторов в формулу, получаем:
cosα = 0,20833333 / 0,433012702 = 0,48112522.
Данному косинусу соответствует угол:
α = 1,0688585 радиан или 61,241082°.