Question

A(-4;1);b(-2;4);c(0;1) доказать что треугольник abc равнобедренный и найти высоту AH Сделайте с рисунком ,

Answer 1

Для доказательства того, что треугольник ABC является равнобедренным, необходимо убедиться в том, что две стороны треугольника равны между собой. Для этого можно использовать формулу расстояния между точками на плоскости.

1. Начнем с вычисления длин сторон треугольника ABC: AB, BC и AC.

Длина стороны AB можно найти с использованием формулы расстояния между точками:

AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]

Где (x1, y1) и (x2, y2) - это координаты точек A и B соответственно.

Подставляя значения координат (-4, 1) и (-2, 4) в формулу, получим:

AB = √[(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2] = √[(2)^2 + (3)^2] = √[4 + 9] = √13

Аналогично, вычисляя длины сторон BC и AC, получим:

BC = √[(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2] = √[(2)^2 + (3)^2] = √[4 + 9] = √13
AC = √[(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2] = √[(4)^2 + (0)^2] = √[16 + 0] = √16 = 4

2. После нахождения длин всех сторон, мы видим, что AB = BC = √13, следовательно, две стороны треугольника ABC равны между собой, и треугольник является равнобедренным.

Теперь перейдем к нахождению высоты треугольника. Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противолежащую сторону.

3. Для нахождения высоты AH, мы должны определить уравнение прямой, содержащей сторону BC. Затем, найдя координаты точки H, пересекающей эту прямую, получим значения точки H.
а) Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C:

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставим значения координат (0, 1) и (-2, 4) в формулу:

m = (4 - 1) / (-2 - 0) = 3 / -2 = -3/2

б) Для того, чтобы найти уравнение прямой, можем использовать уравнение вида y = mx + b, где m - угловой коэффициент, и b - y-перехват.

Подставляя значение углового коэффициента (-3/2) и известные координаты точки B (-2, 4) в уравнение, можем найти b:

4 = (-3/2)(-2) + b
4 = 3 + b
b = 4 - 3
b = 1

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки B и C, будет иметь вид:

y = (-3/2)x + 1

4. Далее, чтобы найти координаты точки H, нужно найти пересечение уравнения прямой BC и прямой, перпендикулярной BC и проходящей через точку A.

Перепишем уравнение BC в виде уравнения вида ax + by + c = 0. Для этого умножим коэффициенты перед x и y на -2, чтобы избавиться от дробей:

2y + 3x - 3 = 0

Найдем уравнение перпендикулярной прямой с помощью метода обратно пропорциональных коэффициентов: угловые коэффициенты прямых, перпендикулярных между собой, являются отрицательными взаимно противоположными числами.

Таким образом, уравнение прямой, перпендикулярной BC и проходящей через точку A, будет иметь вид:

y = (2/3)x + b

Чтобы найти значение b, подставим координаты (-4, 1) в полученное уравнение:

1 = (2/3)(-4) + b
1 = -8/3 + b
b = 1 + 8/3
b = 11/3

Получаем следующее уравнение прямой:

y = (2/3)x + 11/3

5. После нахождения уравнения перпендикулярной прямой исследуем их пересечение. Для этого приравниваем их уравнения и решаем систему уравнений:

(-3/2)x + 1 = (2/3)x + 11/3

Переносим все члены к одной стороне:

(-3/2)x - (2/3)x = 11/3 - 1

Получаем:

(-9x - 4x) / 6 = 8 / 3

(-13x) / 6 = 8 / 3

Раньше, чтобы избавиться от знаменателя 6 слева, мы умножали уравнение на 6, но сейчас нам нужно получить x отдельно, поэтому домножим обе части уравнения на 6 / 13:

x = (8 / 3) * (6 / 13)

x = 48 / 39
x = 16 / 13

Теперь, чтобы найти значение y, подставим этот x в любое из уравнений:

y = (2/3)(16/13) + 11/3
y = 32/39 + 33/9

Проверка показывает, что y = 2

Таким образом, координаты точки H равны (16/13, 2).

Теперь мы можем написать окончательный ответ: треугольник ABC является равнобедренным, так как AB = BC = √13. Высота AH треугольника ABC равна 2 и проходит через точку H с координатами (16/13, 2).