Из вершины прямого угла С проведена высота CD, равная 12 см. Катет ВС = 20 см. Найдите BD, АВ и cosА.
============================================================
ΔABC - прямоугольный, CD⊥ABВ ΔBCD: по т. ПифагораBD² = BC² - CD² = 20² - 12² = 400 - 144 = 256BD = 16 смСвойства прямоугольного треугольника:1. Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.2. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.CD² = AD • BD ⇒ AD = CD²/ BD = 12²/16 = 144/16 = 9 смAB = AD + BD = 9 + 16 = 25 см▪Если в прямоугольном треугольнике высота опущена из вершины прямого угла на гипотенузу, то высота делит этот треугольник на 3 пары подобных прям. треугольников.Значит, ∠CAD = ∠BCD cos∠CAD = cos∠BCD = CD/BC = 12/20 = 6/10 = 0,6ОТВЕТ: BD = 16 см, АВ = 25 см, cosA = 0,6
<MCL=90°, как угол между биссектрисами двух смежных углов (свойство).
Значит <CLM=45° (так как CL=CM - дано).
Тогда <LAС+<LCA=45° (так как внешний угол ВLC равен сумме двух внутренних, не смежных с ним). Умножим на 2 обе части этого уравнения:
2<LAK+2<LCA=90° или 2<BAC+<BCA=90°. Но <BAC+<BCA=180°-<ABC тогда <BAC+180°-<ABC=90° или <BАC=<ABC-90°.
Проведем через точку А диаметр АК описанной окружности.
Тогда <АСК=90°, как угол, опирающийся на диаметр.
<AКC=180°-<AВC, так как опираются на одну хорду.
<KAC=180°-<ACK-<AKC или
<KAC=180°-90°-180°+<AВC или <KAC=<AВC-90°.
То есть <KAC=<BАC. Это вписанные углы и дуги ВС и КС равны.
Отсюда КС=ВС=5, как хорды, стягивающие равные дуги.
Тогда по Пифагору AK=√(АС²+СК²) или АК=√(12²+5²)=13.
Это диаметр. Значит радиус описанной окружности равен 6,5.
ответ: R=6,5.