Добрый день! Рассмотрим каждый пункт по отдельности.
а) Имеем две плоскости с уравнениями:
1) x + y + z - 1 = 0
2) x - y + z + 1 = 0
Шаг 1: Найдем векторы нормалей к каждой плоскости.
Для плоскости 1) коэффициенты перед x, y и z дают вектор нормали: [1, 1, 1].
Для плоскости 2) коэффициенты перед x, y и z дают вектор нормали: [1, -1, 1].
Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов нормалей.
Для этого умножим соответствующие координаты векторов и найдем их сумму:
(1 * 1) + (1 * -1) + (1 * 1) = 1 - 1 + 1 = 1.
Шаг 3: Вычислим модули векторов нормалей.
Модуль вектора нормали к плоскости 1) равен корню из суммы квадратов коэффициентов:
|v1| = √(1² + 1² + 1²) = √3.
Модуль вектора нормали к плоскости 2) также равен корню из суммы квадратов коэффициентов:
|v2| = √(1² + (-1)² + 1²) = √3.
Шаг 4: Вычислим косинус угла между плоскостями по формуле:
cos(θ) = (v1 * v2) / (|v1| * |v2|),
где * обозначает скалярное произведение векторов.
Подставим значения в формулу:
cos(θ) = 1 / (√3 * √3) = 1 / 3.
Значение косинуса угла между плоскостями равно 1/3.
а) Имеем две плоскости с уравнениями:
1) x + y + z - 1 = 0
2) x - y + z + 1 = 0
Шаг 1: Найдем векторы нормалей к каждой плоскости.
Для плоскости 1) коэффициенты перед x, y и z дают вектор нормали: [1, 1, 1].
Для плоскости 2) коэффициенты перед x, y и z дают вектор нормали: [1, -1, 1].
Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов нормалей.
Для этого умножим соответствующие координаты векторов и найдем их сумму:
(1 * 1) + (1 * -1) + (1 * 1) = 1 - 1 + 1 = 1.
Шаг 3: Вычислим модули векторов нормалей.
Модуль вектора нормали к плоскости 1) равен корню из суммы квадратов коэффициентов:
|v1| = √(1² + 1² + 1²) = √3.
Модуль вектора нормали к плоскости 2) также равен корню из суммы квадратов коэффициентов:
|v2| = √(1² + (-1)² + 1²) = √3.
Шаг 4: Вычислим косинус угла между плоскостями по формуле:
cos(θ) = (v1 * v2) / (|v1| * |v2|),
где * обозначает скалярное произведение векторов.
Подставим значения в формулу:
cos(θ) = 1 / (√3 * √3) = 1 / 3.
Значение косинуса угла между плоскостями равно 1/3.
б) Имеем две плоскости с уравнениями:
1) 2x - 3y + 6z - 5 = 0
2) 4x + 4y + 2z + 7 = 0
Процедура решения аналогична пункту а).
Шаг 1: Найдем векторы нормалей:
Для плоскости 1) вектор нормали: [2, -3, 6].
Для плоскости 2) вектор нормали: [4, 4, 2].
Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов нормалей:
(2 * 4) + (-3 * 4) + (6 * 2) = 8 - 12 + 12 = 8.
Шаг 3: Вычислим модули векторов нормалей:
|v1| = √(2² + (-3)² + 6²) = √49 = 7.
|v2| = √(4² + 4² + 2²) = √36 = 6.
Шаг 4: Подставим значения в формулу для косинуса угла:
cos(θ) = 8 / (7 * 6) = 8 / 42 = 4 / 21.
Значение косинуса угла между плоскостями равно 4/21.
Таким образом, для плоскостей заданных уравнениями а) и б) косинусы углов между ними будут соответственно 1/3 и 4/21.