Question

CA 1. Даны точки А(-2; 3), В(1; -1), С(2; 4). Найдите: 1) координаты векторов AB и СА; 2) модули векторов AB и СА; 3) координаты вектора MN = 3 АВ - 2CA 4) косинус угла между векторами AB и решить

Answer 1

Добрый день, дорогой ученик!

Для решения данного вопроса нам понадобятся основные знания о векторах и координатной плоскости. Давайте решим его поэтапно.

1) Координаты вектора AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:
AB = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (1 - (-2), -1 - 3) = (3, -4).

Координаты вектора СА можно найти, вычитая координаты точки C из координат точки A:
CA = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (2 - (-2), 4 - 3) = (4, 1).

2) Модуль вектора AB можно найти по формуле модуля вектора:
|AB| = √(x^2 + y^2) = √(3^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Модуль вектора CA можно найти аналогичным образом:
|CA| = √(4^2 + 1^2) = √(16 + 1) = √17.

3) Для нахождения координат вектора MN = 3AB - 2CA мы должны умножить каждую координату вектора AB на 3, каждую координату вектора CA на -2, а затем сложить эти два вектора:
MN = 3AB - 2CA
= 3(3, -4) - 2(4, 1)
= (9, -12) - (8, 2)
= (9 - 8, -12 - 2)
= (1, -14).

Таким образом, координаты вектора MN равны (1, -14).

4) Косинус угла между векторами AB и СА можно найти с помощью формулы косинуса угла между векторами:
cos α = (AB * CA) / (|AB| * |CA|),
где AB * CA - скалярное произведение векторов AB и CA.

Для нахождения скалярного произведения векторов AB и CA, умножим соответствующие координаты векторов и сложим результаты:
AB * CA = (3 * 4) + (-4 * 1) = 12 - 4 = 8.

Подставим найденные значения в формулу и рассчитаем косинус угла α:
cos α = 8 / (5 * √17).

Таким образом, ответ на вопрос состоит в том, что косинус угла α между векторами AB и СА равен 8 / (5 * √17).

Надеюсь, ответ был понятен и полезен для тебя, если у тебя есть еще вопросы, обращайся!