Вравнобедренный треугольник abc (ab=ac) вписана окружность, касательная k к окружности параллельна bc и пересекает ab и ac в точке t и o; p (btoc) =45 см, to: bc=1: 4; найдите r(радиус вписанной окружности(
Касательная k, поскольку она параллельна основанию треугольника ВС, отрезала от него равнобедренную трапецию. В эту трапецию вписана окружность. Вспомним, что в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон трапеции равны. В получившейся трапеции ВТОС ТО+ВС=ВТ+ОС Следовательно, ТО+ВС=45:2=22,5 Так как отношение ТО:ВС=1:4, частей 1+4=5 ТО=22,5:5=4,5 ВС=4,5*4=18 Опустим из вершины Т высоту ТН В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований, больший - полусумме оснований. Отрезок ТН равен полуразности оснований. ТН=(18-4,5):2= 6,75 ТВ+ОС=45:2=22,5 ТВ=ОС=22,5:2=11,25 Из прямоугольного треугольника ВТН найдем высоту ТН по т. Пифагора. Она равна √81 ( можете проверить). ТН=9. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности. Радиус r этой окружности равен =9:2=4,5см
Если проведена средняя линия ΔАВС. Назовём её MN. MN║ AC. Это значит , что MN = AC/2 и AM = MB , BN = NC Если АС = в , BC = a , AB = c , то по свойству среднй линии MN = b / 2 , AM = MB = c / 2 , BN = NC= a / 2/ P ( Δ ABC) = a + b + c P ( AMNC) = AM + MN + NC + AC = c/2+b/2+ a /2+ b = c/2 + a / 2 + 3b/2= (c+a+3b)/2 По условию Р(ΔАВС) = 11 ; P (AMNС) = 12 a+b+c = 11 ((c+a+b)+2b)/2=12 ⇒ (11 + 2b)/2 = 12 11+2b =24 2b= 24-11 2b=13 b = 13/2 = 6.5 b = 6 .5 AC = b = 6.5 Периметр Δ ABC =11. Он указан в условии задачи
отрезала от него равнобедренную трапецию.
В эту трапецию вписана окружность.
Вспомним, что в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон трапеции равны.
В получившейся трапеции ВТОС
ТО+ВС=ВТ+ОС
Следовательно,
ТО+ВС=45:2=22,5
Так как отношение ТО:ВС=1:4, частей 1+4=5
ТО=22,5:5=4,5
ВС=4,5*4=18
Опустим из вершины Т высоту ТН
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований, больший - полусумме оснований.
Отрезок ТН равен полуразности оснований.
ТН=(18-4,5):2= 6,75
ТВ+ОС=45:2=22,5
ТВ=ОС=22,5:2=11,25
Из прямоугольного треугольника ВТН найдем высоту ТН по т. Пифагора.
Она равна √81 ( можете проверить).
ТН=9.
Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.
Радиус r этой окружности равен =9:2=4,5см