1) Рассмотрим треугольники АОС и ДОВ. Угол АОС равен углу ДОВ, так как они вертикальные. АО = ОВ (так как О - середина АВ) ОС=ОД (так как О - середина СД), ⇒ Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда следует равенство сторон АС и ВД. 2) Рассмотрим треугольники СОВ и АОД. Угол СОД равен углу АОД, так как они вертикальные. СО = ОД (по доказанному) ОВ = ОД (по доказанному), ⇒ Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда следует равенство сторон СВ и АД. 3) Рассмотрим треугольники АСВ и ВДА. АВ - общая сторона. АС = ВД (по доказанному) ВС = АД (по доказанному), ⇒ Треугольники равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников), что и требовалось доказать.
Задача элементарная, но мне захотелось написать "совершенно" формальное решение. Пусть центр квадрата P, середина (это так надо перевести слово "серебро" в контексте задачи :)) BC - M. Ясно, что центр окружности лежит на прямой, параллельной BC и AD и проходящей через середину MP - точку K. Пусть эта прямая пересекает AB в точке N. Поскольку окружность симметрична относительно KN, то PK и AN - это половины хорд, перпендикулярных линии KN, проходящей через центр. Ясно, что AN = 3a/4; PK = a/4; NK = a/2; где a - сторона квадрата. Расстояние до хорды связано с радиусом и половиной длины хорды теоремой Пифагора. Разность расстояний от центра до ПОЛУхорд AN и PK равна NK; Если обозначить радиус окружности R, то √(R^2 - (a/4)^2) - √(R^2 - (3a/4)^2) = a/2; пусть 4R/a = x; тогда √(x^2 - 1) = √(x^2 - 9) + 2; x^2 - 1 = x^2 - 9 + 4√(x^2 - 9) + 4; x^2 - 9 = 1; x = √10; ну, и 4/a = 2; R = √10/2;
Разумеется, это простое упражнение на координатный метод. По сути надо найти окружность, проходящую через точки (0,1) (0,-1) и (-2,-3) для квадрата со стороной 4; Центр в точке (b,0) b^2 + 1 = R^2; (b + 2)^2 + 3^2 = R^2; b = -3; R = √10; это результат для квадрата со стороной a =4; то есть при a = 2; R = √10/2;
Угол АОС равен углу ДОВ, так как они вертикальные.
АО = ОВ (так как О - середина АВ)
ОС=ОД (так как О - середина СД), ⇒
Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда следует равенство сторон АС и ВД.
2) Рассмотрим треугольники СОВ и АОД.
Угол СОД равен углу АОД, так как они вертикальные.
СО = ОД (по доказанному)
ОВ = ОД (по доказанному), ⇒
Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда следует равенство сторон СВ и АД.
3) Рассмотрим треугольники АСВ и ВДА.
АВ - общая сторона.
АС = ВД (по доказанному)
ВС = АД (по доказанному), ⇒
Треугольники равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников), что и требовалось доказать.