Трапеция abcd - равнобедренная, диагональ перпендикулярна боковой стороне трапеции. найти площадь, если большее основание равно 12 см, один из углов - 120 градусов. !
Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника. Если точка пересечения биссектрис и точка пересечения медиан совпадают, то медианы треугольника являются и его биссектрисами. Следовательно, данный треугольник - равносторонний. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Прямая , параллельная стороне треугольника и равная 2 см, делит его на подобные треугольники с коэффициентом подобия 3:2 (вся медиана - 3 части, от вершины до точки пересечения медиан- 2 части, следовательно, и k=3:2) Тогда таким же будет и отношение сторон всего треугольника к сторонам отсекаемого, т.е. к длине отрезка, на котором лежит центр окружности. Обозначим сторону треугольника а. а:2=3:2 2а=6 а=3 см Периметр - сумма длин всех трех сторон треугольника. Р=3•3=9 cм ---------- Если не прямая, на которой лежит центр окружности, равна 2 см, а сторона треугольника, тогда, естественно, периметр равен 6 см. Главное - определить, что треугольник равносторонний.
Проведём радиусы ОА и ОД окружности описанной около треугольника АDF(смотри рисунок). Угол АОД окружности (на рисунке не показана)-центральный, а АFД –вписаный. Но они оба опираются на одну дугу АД. То есть угол АОД в два раза больше угла АFД(условно обозначен 1).Треугольник АОД- равнобедренный(АО и ОД радиусы), высота ОЕ делит угол АОД пополам. Отсюда угол ОАЕ=90-угол1. Далее- угол СВД равен углу АFВ как накрест лежащие поскольку АF параллельна ВС. Но угол СВД равен углу САД поскольку они оба опираются на дугу СД. Тогда угол ОАС =угол САД+ угол ОАД=угол1+угол90-угол1=90градусов. То есть радиус ОА окружности описанной около АДF перпендикулярен АС. А это значит , что окружность касается этой прямой
угол АВД = 90 градусов, угол АВС = 120 градусов, АД = 12см.
Найти: площадь трапеции
Решение: угол ДВС= угол АВС- угол АВД = 120-90= 30 градусов.
угол ДВС и угол АДВ накрестлежащие при ВС || АД, поэтому угол ДВС = углу АДВ = 30 градусов.
В треугольн. АВС против угла в 30 градусов (против угла АДВ) лежит катет равный половине гипотенузы, т.е. АВ = 6 см.
Опустим перпендикуляр СН и рассмотрим треугольн. СНД, в нем угол НСД =120-90 =30 градусов. Поэтому (как и в предыдущем случае) НД = 0,5*=СД= 3см.
В треугольн. СНД по Т. Пифагора СН =5 см.
ВС= АД-2*НД= 12-6=6 см
Площадь трапеции равна 0,5*(12+6)*5= 45 см^2