Основанием правильной пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол 45º.
Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Объяснение:
1)S(полн.пир)=S(осн)+S(бок)
S(осн)=S( прав.тр)=(а²√3)/4 , где а-сторона основания,
S(бок)=1/2 Р(осн)*d , где d-апофема.
2) Высота пирамиды МО , в правильной пирамиде, проецируется в центр основания, точку пересечения медиан . Пусть ВН⊥АС.
В ΔАВС: a₃=R√3 , 4=R√3 , R=4/√3 (см) ⇒ r=ОН=2/√3 (см) по т. о точке пересечения медиан.
Т.к по условию ∠МВО=45°, то ΔМВО-прямоугольный , равнобедренный. Значит ВО=МО=4/√3 см.
ΔМОН-прямоугольный, по т. Пифагора МН=√( ОН²+ОМ²),
МН=√( (2/√3)²+(4/√3)²)=2√(5/3) (см) ⇒ d=2√(5/3) см.
3) S(бок)=1/2*2√(5/3) *12= 12√(5/3) (см²) .
S(осн)=(4²√3)/4=4√3 ( см²)
S(полн.пир)=4√3 +12√(5/3)=4√3 +4√15 (см²)
Аналогично показываем, что АВ=ВС. Таким образом три стороны трапеции равны между собой.
Если за О обозначить точку пересечения диагоналей, то из рис.2 видим, что треугольники ВОС и DOA подобны (по трем углам). Причем коэффичиент подобия равен 5/13.
Обозначим за 5х - длинну основания ВС и 13х - длинну основания AD. Найдем, чему равняется KD. KD=(AD-BC)/2=(13x-5x)/2=4x.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике KCD: KD²+CK²=CD². CK - это высота трапеции, а CD=BC=5х. Тогда имеем: (4х)²+90²=(5х)² , 8100=9х², 900=х², х=30(см).
Значит ВС=5*30=150(см), а AD=13*30=390(см).
Площадь трапеции равна
S=h*(BC+AD)/2=90*(150+390)/2=90*270=24300(см²)