Question

Найдите площадь треугольников, если известно, что его медианы CM и BN равны 6 и 4,5 соответственно, а угол BKM = 45, где K - точка пересечения медиан

Answer 1

$9\sqrt{2}$ кв. ед.

Объяснение:

Дан ΔАВС . CM  и BN - медианы .

CM  =6 ед., BN = 4, 5 ед.  Медианы пересекаются в точке К.

Медианы в треугольнике пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Тогда

СК =4 ед., КМ= 2 ед.

BK=3 ед.   KN= 1,5 ед.

Найдем площадь Δ  ВКМ  как полупроизведение двух  сторон на синус угла между ними.

$S= \dfrac{1}{2} \cdot BK\cdot KM\cdot sin45 ^{0} ;\\S= \dfrac{1}{2} \cdot 3\cdot 2\cdot sin45 ^{0}= 3 \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2}=\dfrac{3\sqrt{2} }{2} .$

Медианы треугольника пересекаясь, делятся на 6 равновеликих треугольников, то есть треугольников с равными площадями.

Тогда для того чтобы найти площадь треугольника ΔАВС, надо площадь треугольника  Δ  ВКМ умножить на 6.

$S= 6\cdot \dfrac{3\sqrt{2} }{2}= \dfrac{2\cdot3\cdot3 \sqrt{2} }{2} =9\sqrt{2}$  кв. ед.