В любом треугольнике можно провести 3 медианы. Все они пересекаются в одной точке, в центре (центре тяжести) треугольника.
AK = KC , BK — медиана ABC ,
О — центр A 1B 1C 1 .
Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне.
Обратите внимание, что биссектриса угла — это луч, делящий угол на два равных, а биссектриса треугольника — это отрезок, часть луча, ограниченная стороной треугольника.
BK — биссектриса ABC ,
A 1О — биссектриса C 1A 1B 1 .
В каждом треугольнике можно провести 3 биссектрисы, которые пересекаются в одной точке, обычно обозначаемой латинской буквой I .
Точка пересечения биссектрис треугольника ( I ) — центр вписанной в треугольник окружности.
Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
AK⊥BC; ∠KAB = ∠KAC; = 30° (медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также высотой и биссектрисой)
∠(DA, ABC) = ∠DAK;
a) по теореме о трех косинусах cos(∠DAK) = cos(∠DAC)/cos(∠KAC) =1/√3
cos(вектор_DA, вектор_AK) = cos(180 − ∠DAK) = −cos(∠DAK) = −1/√3
скалярное произведение вектор_DA · вектор_AK = |DA|·|AK|·cos(вектор_DA, вектор_AK) = −a²/√3
b)
AT||BC; AT = BC = a; ∠KAT; = 30 + 60 = 90°
по теореме о трех косинусах cos(∠DAT) = cos(∠KAT)·cos(∠DAK) = 1/√6
cos(вектор_DA · вектор_BC) = cos(вектор_DA · вектор_AT) = cos(180 − ∠DAT) = −cos(∠DAT) = −1/√6
скалярное произведение вектор_DA · вектор_BC = |DA|·|BC|·cos(вектор_DA · вектор_BC) = −a²/√6
2) DA1C1C не является гранью
если там DD1C1C
a − ребро куба
AT||BD1; AT = BD1;
AT² = BD1² = 3a²
AM² = a² + (½a)² + (½a)² = (3/2)·a²
TM² = ((3/2)·a)² + (½a)² = (5/2)·a²
по теореме косинусов TM² = AM² + AT² - 2·AM·AT·cos(∠TAM)
cos(∠TAM) = (√2)/3
cos ∠(вект_AM, вект_BD1) = cos(∠TAM) = (√2)/3 > 0 угол острый, т. к. косинус положительный