1) Находим углы по теореме косинусов и площадь по теореме Герона: a b c p 2p S 4 8 5 8.5 17 8.18153 cos A= (АВ²+АС²-ВС²) / (2*АВ*АС) cos A = 0.9125 cos В= (АВ²+ВС²-АС²) / (2*АВ*ВС) cos B = -0.575 cos C= (АC²+ВС²-АD²) / (2*АC*ВС) cos С = 0.859375 Аrad = 0.421442 Brad = 2.1834 Сrad = 0.53675 Аgr = 24.14685 Bgr = 125.0996 Сgr = 30.75352.
2) Длины высот: АА₂ = 2S / BС = 4.090767 BB₂ = 2S / АС = 2.04538 CC₂ = 2S / ВА = 3.272614.
3) Длины медиан: Медиана, соединяющая вершину треугольника А с серединой стороны а равна a b c 4 8 5 ма мв мс 6.364 2.12132 5.80948
4) Длины биссектрис: Биссектриса угла А выражается: a b c 4 8 5 βa βb βc 6.0177 2.04879 5.14242.
Деление сторон биссектрисами: a b c ВК КС АЕ ЕС АМ МВ 1.53847 2.46154 4.4444 3.5556 3.333 1.6667. Деление биссктрис точкой пересечения βa βb βc АО ОК ВО ОЕ СО ОМ 4.601799 1.41593 1.08465 0.96413 3.62994 1.512475 Отношение отрезков биссектрис от точки пересечения: АО/ОК ВО/ОЕ СО/ОМ 3.25 1.125 2.4
5) Радиус вписанной в треугольник окружности равен: r = 0.9625334.
Расстояние от угла до точки касания окружности: АК=АМ BК=BЕ CМ=CЕ 4.5 0.5 3.5
6) Радиус описанной окружности треугольника, (R): R = 4.889058651.
Отрезки касательных из точки вне окружности до точки касания с ней равны. Следовательно, треугольник АВС равнобедренный и ∠ АВС=∠АСВ. Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, стягиваемой хордой. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис. ВК и СМ - биссектрисы равных углов В и С соответственно. Угол АВК равен половине угла АВС, и, следовательно, равен четверти дуги, заключенной между сторонами угла АВС, поэтому ВК пересекает дугу ВС в ее середине. Аналогично СМ пересекает дугу ВС в ее середине. Середина дуги ВС - точка пересечения биссектрис треугольника АВС и потому является центром вписанной в ∆ АВС окружности, что и требовалось доказать.
a b c p 2p S
4 8 5 8.5 17 8.18153
cos A= (АВ²+АС²-ВС²) / (2*АВ*АС)
cos A = 0.9125
cos В= (АВ²+ВС²-АС²) / (2*АВ*ВС)
cos B = -0.575
cos C= (АC²+ВС²-АD²) / (2*АC*ВС)
cos С = 0.859375
Аrad = 0.421442 Brad = 2.1834 Сrad = 0.53675
Аgr = 24.14685 Bgr = 125.0996 Сgr = 30.75352.
2) Длины высот:
АА₂ = 2S / BС = 4.090767
BB₂ = 2S / АС = 2.04538
CC₂ = 2S / ВА = 3.272614.
3) Длины медиан:
Медиана, соединяющая вершину треугольника А с серединой стороны а равна
a b c
4 8 5
ма мв мс
6.364 2.12132 5.80948
4) Длины биссектрис:
Биссектриса угла А выражается:
a b c
4 8 5
βa βb βc
6.0177 2.04879 5.14242.
Деление сторон биссектрисами:
a b c
ВК КС АЕ ЕС АМ МВ
1.53847 2.46154 4.4444 3.5556 3.333 1.6667.
Деление биссктрис точкой пересечения
βa βb βc
АО ОК ВО ОЕ СО ОМ
4.601799 1.41593 1.08465 0.96413 3.62994 1.512475
Отношение отрезков биссектрис от точки пересечения:
АО/ОК ВО/ОЕ СО/ОМ
3.25 1.125 2.4
5) Радиус вписанной в треугольник окружности равен:
r = 0.9625334.
Расстояние от угла до точки касания окружности:
АК=АМ BК=BЕ CМ=CЕ
4.5 0.5 3.5
6) Радиус описанной окружности треугольника, (R):
R = 4.889058651.