Пусть дан ромб AВСD, в котором высота BM, проведённая из вершины ∠АВС образует ∠АВМ = 30° со стороной AB, отрезок AM = 4 см, тогда:
4 ∙ 2 = 8 (см) – длина гипотенузы АВ в прямоугольном треугольнике АВМ (∠ВМА = 90°), по свойству катета, противолежащего ∠АВМ = 30°, тогда и сторона ромба АВ = 8 см;
8 – 4 = 4 (см) длина отрезка МD, так как по свойству взаимного расположения точек на прямой АD = АМ + МD.
ΔАВМ = ΔDВМ пр 1 признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам):
2) ВМ – общий катет;
2) АМ = МD = 4см.
Следовательно гипотенузы треугольников будут равны АВ = BD = 8 см и длина диагонали ромба BD = 8 см.
ответ: длина диагонали ромба BD составляет 8 см.
Дано:
ABCD - параллелограмм
A(4; 1) , B(1 ; -2) , C(-2 ;1).
а) D(x; y) -?
б) док -ать ABCD -ромб -?
а)
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Поэтому :
x(O) =(x(D) +x(B) /2 = (x(A) +x(C) /2 ⇒
x(D) = x(A) +x(C) - x(B) =4+(-2) -1 =1;
y(O) =(y(D) +y(B) /2 = (y(A) +y(C) /2 ⇒
y(D) = y(A)+y(C) -y(B) =1+1 -(-2) =4.
D(1 ; 4) .
б)
AB² =(x(B) -x(A) )² +( (y(B) -y(A) )² =(1 - 4)² + (-2 -1) =3² +3² =18 ;
AD² =(x(D) -x(A) )² +( (y(D) -y(A) )² =(1 - 4)² + (4 -1) =3² +3² =18 .
Следовательно : AB =AD.Таким образом все стороны параллелограмма равны ,т.е. ABCD является ромбом .
DC =AB=AD =BC
∠BCD + ∠CDA = 180°, значит сумма их половинок равна 90°,
∠OCD + ∠ODC = 90°, ⇒ ∠COD = 90°, ∠CDO = 30°.
Проведем высоту СН.
ΔCHD: ∠CHD = 90°, ∠CDH = 60°, ⇒ ∠HCD = 30°
ΔCHD = ΔDOC по гипотенузе и острому углу (CD - общая гипотенуза, ∠HCD = ∠CDO = 30°), ⇒
CH = DO = a
Sabcd = (b + c)/2 · a